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如图，直三棱柱中，点是上一点.

⑴若点是的中点，求证平面；
⑵若平面平面，求证.

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如图，直三棱柱中， ，. 分别为棱的中点.
（1）求二面角的平面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使得平？
若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

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一、选择题（每小题5分，共60分）

1.A   2.A   3.B   4.D   5.C   6.C   7.B   8.B   9.B   10.D   11.C    12.D

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.2     14.    15.    16.③④

三、解答题（共70分）

17. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由  可得：

     又     ;        ………………………… 5分

（Ⅱ），

.                               ………………………………………… 10分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设A队得分为2分的事件为,

∴  ………… 4分

（Ⅱ）的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;   

,    ,    , ,  

0

1

2

3

∴的分布列为:                          

………… 8分

      于是 , ……………… 9分

∵ ,    ∴     ……………………… 11分

由于, 故B队比A队实力较强.    ……………………… 12分

19．（本小题满分12分）

解法一

（Ⅰ）连结，

     ∵平面，平面∩平面

∴

又∵是的中点

∴是的中点

    ∵

∴，

∴是二面角的平面角.

，

    在直角三角形中，，   ………… 6分

（Ⅱ）解：过 作，垂足为，连结，

∵是三角形的中位线，

∴

∵面

∴面

∴，又

     ∴平面

为在平面上的射影，

又∵，由三垂线定理逆定理，得

∴为二面角的平面角

∵，

在直角三角形中，，

    ∴二面角的大小为.      ……………… 12分

解法二：

（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系，则,

，

平面的法向量为由

得,

平面 ,.

所以点是棱的中点.

平面的法向量，，

即

（Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量

，，

∵二面角为锐角

∴二面角的大小为

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）的定义域为.

，令得:

所以在内为增函数,在内为减函数.     ……………… 6分

  （Ⅱ）由题意得:,

为递增函数,;

为递增函数,

的取值范围为.                                  ……………… 12分

21． （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）过点作垂直直线于点

依题意得：，

所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，

即曲线的方程是                                ………………………4分

（Ⅱ）设、 ，  ，则

由知，， ∴，

又∵切线AQ的方程为：，注意到

切线AQ的方程可化为：；

由在切线AQ上， ∴    

于是在直线上

同理，由切线BQ的方程可得：   

于是在直线上

所以，直线AB的方程为：，

又把代入上式得：

∴直线AB的方程为：

∴直线AB必过定点.              ………………………12分

（Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为，则

由知，，得切线方程：

即为：，又∵在切线上，

所以可得：，又把代入上式得：

，解之得：

∴，

故直线AB的方程为：

化简得：

∴直线AB的方程为：

∴直线AB必过定点.

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由①

        得：②

①-②得，

即有,

数列是从第二项为，公比为的等比数列

  即， ……………………5分

而满足该式， .  ……………………6分

（Ⅱ）  ，   要使恒成立

恒成立

即

当为奇数时，恒成立，而的最小值为   

                             ………………………………………………10分

当为偶数时，恒成立，而的最大值为 

或

所以，存在，使得对任意都有.  ……………………………………12分