函数与方程在解析几何中的应用例6．若.分别是椭圆的左.右焦点. (Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点.求的最大值和最小值, (Ⅱ)设过定点.的直线与椭圆交于两不同的点..且为锐角(其中为坐标原点).求直线的斜率的取值范围. 分析:(Ⅰ)中可以设出点的坐标.用坐标表示出.得到函数求最值.(Ⅱ)中研究直线与椭圆的交点.需要解方程组.由韦达定理解答即可. 解:(Ⅰ)解法一:由椭圆方程知所以 .设则又 ∴ .故当.即点为椭圆短轴端点时.有最小值当.即点为椭圆长轴端点时.有最大值．解法二:易知.所以.设则 (Ⅱ)显然当直线的斜率不存在即时.不满足题设条件可设的方程为.设. 联立得即 ∴ . 由即解得 ① 又为锐角 ∴ ∴ ∴ ∴ ② 综①.②可知 ∴ 的取值范围是．评注:解析几何中点的坐标.线的方程都与函数.方程是相通的.可以利用函数与方程的思想解答问题.在解方程组时要注意保证方程组有两不同的解.求得参数的取值范围. 例7．设.椭圆方程为.抛物线方程为．如图4所示.过点作轴的平行线.与抛物线在第一象限的交点为.已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点． (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程, (2)设分别是椭圆长轴的左.右端点.试探究在抛物线上是否存在点.使得为直角三角形?若存在.请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．分析:本题中的抛物线可以看作为二次函数.抛物线在点的切线的斜率就是该点处的函数的导数.由此可以写出此切线方程.从而得到椭圆的右焦点的坐标.进而求出椭圆和抛物线的方程.(2)为探索结论问题.为直角三角形自然要考虑谁是直角.所以需要分类讨论.并转为方程确定其解的个数. 解:(1)由得.当得. G点的坐标为... 过点G的切线方程为即. 令得.点的坐标为.由椭圆方程得点的坐标为. 即.即椭圆和抛物线的方程分别为和, (2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个.同理以为直角的只有一个.若以为直角.设点坐标为..两点的坐标分别为和. .关于的二次方程有一大于零的解.有两解.即以为直角的有两个.因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形. 评注:本题较好地把圆锥曲线问题和函数的导函数结合起来解答问题.一般地.对于已经曲线的某一点处的切线.就要转为函数求导.从而求出其切线.另外.还要注意方程的解的个数的探讨. 例8．若A.B是抛物线y2=4x上的不同两点.弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P.则称弦AB是点P的一条“相关弦 .已知当x>2时.点P(x,0)存在无穷多条“相关弦 .给定x0>2. (I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦的中点的横坐标相同, (II) 试问:点P(x0,0)的“相关弦的弦长中是否存在最大值? 若存在.求其最大值(用x0表示):若不存在.请说明理由. 分析:本题(1)研究中点弦问题.可以用点差法.求得中点的坐标从而证明,(2)可用中点的坐标表示出弦长.得到关于中点的纵坐标的函数.再求出函数的值域. 解: (I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦 .且点A.B的坐标分别是 (x1,y1).(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y20. 设直线AB的斜率是k.弦AB的中点是M(xm, ym),则 k=.从而AB的垂直平分线l的方程为又点P(x0,0)在直线上.所以而于是故点P(x0,0)的所有“相关弦的中点的横坐标都是x0-2. 知.弦AB所在直线的方程是.代入中. 整理得 (·) 则是方程(·)的两个实根.且设点P的“相关弦 AB的弦长为l.则因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8). 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时, l有最大值2(x0-1). 若2<x0<3,则2(x0-3)0,g(t)在区间(0.4 x0-8)上是减函数. 所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值. 综上所述.当x0>3时.点P(x0,0)的“相关弦的弦长中存在最大值.且最大值为2(x0-1),当2< x03时.点P(x0,0)的“相关弦的弦长中不存在最大值. 评注:本题中需要解方程组求弦长.弦长用弦的中点坐标表示出来.可用配方法求得函数的值域.直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想.在解决解析几何问题时常常运用函数与方程的思想来解答. 【查看更多】

（理）已知函数f(x)=

ln(2-x2)

|x+2|-2

．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且

AB

•

AD

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
断点O、G、H是否共线，并说明理由．

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（理）已知函数

．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且