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    例1设函数.已知和为的极值点． (Ⅰ)求和的值, (Ⅱ)讨论的单调性, (Ⅲ)设.试比较与的大小． 解:(Ⅰ)因为 . 又和为的极值点.所以. 因此 解方程组得.． (Ⅱ)因为.. 所以. 令.解得..． 因为当时., 当时.． 所以在和上是单调递增的, 在和上是单调递减的． 可知. 故. 令. 则． 令.得. 因为时.. 所以在上单调递减． 故时., 因为时.. 所以在上单调递增． 故时.． 所以对任意.恒有.又. 因此. 故对任意.恒有． 说明:本题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题.另外利用导数证明不等式也是09年高考不科忽视的考查方向. 例2．已知函数.求导函数.并确定的单调区间． 解: ． 令.得． 当.即时.的变化情况如下表: 0 当.即时.的变化情况如下表: 0 所以.当时.函数在上单调递减.在上单调递增. 在上单调递减． 当时.函数在上单调递减.在上单调递增.在上单调递减． 当.即时..所以函数在上单调递减.在上单调递减． 例3．已知函数.其中. (Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为.求函数的解析式, (Ⅱ)讨论函数的单调性, (Ⅲ)若对于任意的.不等式在上恒成立.求的取值范围. 解:(Ⅰ).由导数的几何意义得.于是． 由切点在直线上可得.解得． 所以函数的解析式为． (Ⅱ)． 当时.显然()．这时在.内是增函数． 当时.令.解得． 当变化时..的变化情况如下表: + 0 - - 0 + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以在.内是增函数.在.(0,)内是减函数． 知.在上的最大值为与中的较大者.对于任意的.不等式在上恒成立.当且仅当.即.对任意的成立． 从而得.所以满足条件的的取值范围是． 说明:本小题主要考查导数的几何意义.利用导数研究函数的单调性.解不等式等基础知识.考查运算能力.综合分析和解决问题的能力． 例4．水库的蓄水量随时间而变化.现用t表示时间.以月为单位.年初为起点.根据历年数据.某水库的蓄水量关于t的近似函数关系式为 V(t)= (Ⅰ)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜i表示第i月份,问一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量. 解:(Ⅰ)①当0＜t10时.V(t)=(-t2+14t-40) 化简得t2-14t+40>0, 解得t＜4.或t＞10.又0＜t10.故0＜t＜4. ②当10＜t12时.V(t)＝4(t-10)(3t-41)+50＜50, 化简得(t-10)(3t-41)＜0, 解得10＜t＜.又10＜t12,故 10＜t12. 综合得0<t<4,或10<t12, 故知枯水期为1月.2月. 3月.4月.11月.12月共6个月. 知:V(t)的最大值只能在内达到. 由V′(t)= 令V′(t)=0,解得t=8. 当t变化时.V′(t) 与V (t)的变化情况如下表: t (4,8) 8 V′(t) + 0 - V(t) 极大值 由上表.V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.32. 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 说明:本小题主要考查函数.导数和不等式等基本知识.考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力. 例5．已知函数(且.)恰有一个极大值点和一个极小值点.其中一个是． (Ⅰ)求函数的另一个极值点, (Ⅱ)求函数的极大值和极小值.并求时的取值范围． 解:(Ⅰ).由题意知. 即得.(*).． 由得. 由韦达定理知另一个极值点为(或)． 式得.即． 当时.,当时.． (i)当时.在和内是减函数.在内是增函数． . . 由及.解得． (ii)当时.在和内是增函数.在内是减函数． . 恒成立． 综上可知.所求的取值范围为． 例6．求证下列不等式 (1) (2) (3) 证明:(1) ∴ 为上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 (2)原式 令 ∴ ∴ ∴ (3)令 ∴ ∴ 说明:利用导数证明不等式这一部分内容不可忽视.它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值问题. 【查看更多】

     

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    （08年山东卷文）（本小题满分12分）

    设函数，已知和为的极值点．

    （Ⅰ）求和的值；

    （Ⅱ）讨论的单调性；

    （Ⅲ）设，试比较与的大小．

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