熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点,且.

(Ⅰ)求证:CN∥平面AMB1

(Ⅱ)求证: B1M⊥平面AMG.

【解析】本试题主要是考查了立体几何汇总线面的位置关系的运用。第一问中,要证CN∥平面AMB1;,只需要确定一条直线CN∥MP,既可以得到证明

第二问中,∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,得到线线垂直,B1M⊥AG,结合线面垂直的判定定理和性质定理,可以得证。

解:(Ⅰ)设AB1 的中点为P,连结NP、MP ………………1分

∵CM   ,NP   ,∴CM       NP, …………2分

∴CNPM是平行四边形,∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN  平面AMB1,MP奂  平面AMB1,∴CN∥平面AMB1…4分

(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,

    ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1 B1 B,∴B1M⊥AG………………6分

∵CC1⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1 C,  

设:AC=2a,则

…………………………8分

同理,…………………………………9分

∵ BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,

………………………………10分

 

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如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,的交点,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面

(Ⅲ)求二面角的大小.

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又平面平面,∴平面,又,∴平面. 可得证明

(3)因为∴为面的法向量.∵

为平面的法向量.∴利用法向量的夹角公式,

的夹角为,即二面角的大小为

方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点

,又点,∴

,且不共线,∴

平面平面,∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵

,即

,∴平面.   ………8分

(Ⅲ)∵,∴平面

为面的法向量.∵

为平面的法向量.∴

的夹角为,即二面角的大小为

 

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如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.

(1)证明 平面

(2)证明平面EFD;

(3)求二面角的大小.

【解析】本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定,线面垂直的判定,以及二面角的求解的综合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。

 

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平面几何中,同垂直于一条直线的两直线________.那么,类比到空间中有:(1)同垂直于一条直线的两条直线平行,这个命题成立吗?______.为什么?_______.(2)同垂直于一个平面的两条直线_________.这个命题是__________(填:真、假)命题.原因是:已知a⊥平面α,b⊥平面α,求证:ab.假设b不平行于a,设bα=O,b′是经过点O与直线_______平行的直线.∵a_______b′,aα ,?∴b′________α,?即经过同一点O的两条直线________、_______都垂直于平面α,这是不可能的.因此,________.这种证明的方法是________法.?

命题(2)的逆命题是:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也_________这个平面.用数学符号表示:已知a_____b,a_______平面α,求证:b______α.?

证明:设m是α内的任意一条直线.∵a________α,mα,?

?∴a________m.又∵a_______b,∴________bm.又∵mα,m是_______,∴由线面垂直的__________可知b______α.

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线面垂直的实质是什么?

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