已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比数列，数列{b_n}满足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2 an+1 2

，（n∈N⁺）其中k为大于0的常数．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记数列a_n+b_n的前n项和为T_n，若当且仅当n=3时，T_n取得最小值，求实数k的取值范围．

若数列{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d，其中d为常数，则称数列{a_n}为等方差数列．已知等方差数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=1，a₅=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列的前n项和．
（3）记b_n=na_n²，则当实数k大于4时，不等式kb_n大于n（4-k）+4能否对于一切的n∈N^*恒成立？请说明理由．

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记bn=an-

2

，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记cn=

Sn

n

，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．