题目列表(包括答案和解析)
已知是公差为d的等差数列,
是公比为q的等比数列
(Ⅰ)若 ,是否存在
,有
?请说明理由;
(Ⅱ)若(a、q为常数,且aq
0)对任意m存在k,有
,试求a、q满足的充要条件;
(Ⅲ)若试确定所有的p,使数列
中存在某个连续p项的和式数列中
的一项,请证明.
【解析】第一问中,由得
,整理后,可得
、
,
为整数
不存在
、
,使等式成立。
(2)中当时,则
即
,其中
是大于等于
的整数
反之当时,其中
是大于等于
的整数,则
,
显然,其中
、
满足的充要条件是
,其中
是大于等于
的整数
(3)中设当
为偶数时,
式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,
式不成立。由
式得
,整理
当时,符合题意。当
,
为奇数时,
结合二项式定理得到结论。
解(1)由得
,整理后,可得
、
,
为整数
不存在
、
,使等式成立。
(2)当时,则
即
,其中
是大于等于
的整数反之当
时,其中
是大于等于
的整数,则
,
显然,其中
、
满足的充要条件是
,其中
是大于等于
的整数
(3)设当
为偶数时,
式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,
式不成立。由
式得
,整理
当时,符合题意。当
,
为奇数时,
由
,得
当
为奇数时,此时,一定有
和
使上式一定成立。
当
为奇数时,命题都成立
△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求AC的长及△ABC的面积。
【解析】本试题主要考查了余弦定理的运用。利用由题意得,
,
并且
有
得到结论。
解:(Ⅰ)由题意得,
………1分
…………1分
(Ⅱ)………………1分
设函数f(x)=在[1,+∞
上为增函数.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)比较的大小,说明理由;
(3)求证:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一问中,利用
解:(1)由已知:,依题意得:
≥0对x∈[1,+∞
恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f()=
(3) ∵ ∴
已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(O为坐标原点),当
<
时,求实数
的取值范围.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中,利用
第二问中,利用直线与椭圆联系,可知得到一元二次方程中,可得k的范围,然后利用向量的
<
不等式,表示得到t的范围。
解:(1)由题意知
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
(0<φ<π,ω>0)过点
,函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【解析】本试题主要考查了三角函数的图像和性质的运用,第一问中利用函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.得
,
所以
第二问中,,
可以得到单调区间。
解:(Ⅰ)由题意得,
,…………………1分
代入点
,得
…………1分
,
∴
(Ⅱ),
的单调递减区间为
,
.
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