19.解: 1)因为对任意正整数n, m.当n > m时.总成立. 查看更多

 

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设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n):

记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

(1)   对如下数表A,求K(A)的值;

1

1

-0.8

0.1

-0.3

-1

 

(2)设数表A∈S(2,3)形如

1

1

c

a

b

-1

 

求K(A)的最大值;

(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。

【解析】(1)因为

所以

(2)  不妨设.由题意得.又因为,所以

于是

    

所以,当,且时,取得最大值1。

(3)对于给定的正整数t,任给数表如下,

任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每一个数换成它的相反数,所得数表

,并且,因此,不妨设

得定义知,

又因为

所以

     

     

所以,

对数表

1

1

1

-1

-1

 

综上,对于所有的的最大值为

 

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