设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 21世纪教育网 (2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条——青夏教育精英家教网—

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 21世纪教育网 (2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且,并求出该圆的方程; (3)已知,设直线与圆C:相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为,,, 所以, 即. 21世纪教育网当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. (2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. (3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:相切于A1, 由(2)知, 即 ①, 因为与轨迹E只有一个公共点B1, 由(2)知得, 即有唯一解则△=, 即, ② 由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 21世纪教育网由中,所以,, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1. [命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 【查看更多】

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(2009山东卷文) （本小题满分14分）

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.