题目列表(包括答案和解析)
如图所示的长方体中,底面
是边长为
的正方形,
为
与
的交点,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又
平面
,
平面
,∴
平面
由
,
,又
,∴
平面
.
可得证明
(3)因为∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴利用法向量的夹角公式,
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
.
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点
、
,
∴,又点
,
,∴
∴,且
与
不共线,∴
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ………8分
(Ⅲ)∵,
,∴
平面
,
∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
. (本小题满分9分)
(如图)在底面为平行四边形的四棱锥中,
,
平面
,且
,点
是
的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)(理科学生做)求二面角的大小.
(文科学生做)当,
时,求直线
和平面
所成的线面角的大小.
(几何证明选做题) 如图,过点作圆
的割线
与切线
,
为切点,连接
,
的平分线与
分别交于点
,若
,则
;
命题(2)的逆命题是:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也_________这个平面.用数学符号表示:已知a_____b,a_______平面α,求证:b______α.?
证明:设m是α内的任意一条直线.∵a________α,mα,?
?∴a________m.又∵a_______b,∴________bm.又∵mα,m是_______,∴由线面垂直的__________可知b______α.
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