题目列表(包括答案和解析)
设椭圆(常数
)的左右焦点分别为
,
是直线
上的两个动点,
.
(1)若,求
的值;
(2)求的最小值.
【解析】第一问中解:设,
则
由得
由
,得
②
第二问易求椭圆的标准方程为:
,
所以,当且仅当或
时,
取最小值
.
解:设,
……………………1分
则,由
得
①……2分
(1)由,得
② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式,消去,并求得
.
………………………3分
(2)解法一:易求椭圆的标准方程为:
.………………2分
, ……4分
所以,当且仅当或
时,
取最小值
.…2分
解法二:,
………………4分
所以,当且仅当或
时,
取最小值
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
当时
单调递减;当
时
单调递增,故当
时,
取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
故当时,
取最大值
.因此,当且仅当
时,①式成立.
综上所述,的取值集合为
.
(Ⅱ)由题意知,令
则
令,则
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.故当
,
即
从而,
又
所以因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
使
即
成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值
对一切x∈R,f(x)
1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,
为其前n项和,且满足
,
.数列
满足
,
,
为数列
的前n项和.
(1)求数列的通项公式
和数列
的前n项和
;
(2)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得
成等比数列?若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又时,
满足
,
,
第二问,①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时
需满足
.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时
取得最小值-6.
此时
需满足
.
第三问,
若成等比数列,则
,
即.
由,可得
,即
,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又时,
满足
,
,
.
(2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时
需满足
.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时
取得最小值-6.
此时
需满足
.
综合①、②可得的取值范围是
.
(3),
若成等比数列,则
,
即.
由,可得
,即
,
.
又,且m>1,所以m=2,此时n=12.
因此,当且仅当m=2,
n=12时,数列中的
成等比数列
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