已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；
（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）

估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日．??????????????????????????????????????????????????? （6分）

（3）略（语言表述积极进取，健康向上即可得分）．?????????????????????????????????????????????? （7分）

２１．(本题满分８分)

解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°．

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°．

∵  AE∥BF∥CD，

∴  ∠FBC=∠EAC=60°．

∴ ∠DBC=30°．　???????????????????????????????????????? 2分

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，

　　∴ ∠ADB=15°．

∴ ∠DAB=∠ADB． ∴  BD=AB=2．

　　即B，D之间的距离为2km．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ４分

（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，

　　在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°．

　　∴ DO=2×sin60°=2×,BO=2×cos60°=1．??????????????????????????????????????????????????? ６分

　　在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，

　　∴ CD=DO－CO=（km）．

　　即C，D之间的距离为km． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

２２．解：（1）

（2）290，甲，20．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分（每空1分）

（3）在5月17日，甲厂生产帐篷50顶，乙厂生产帐篷30顶．???????????????????????????????????? 6分

设乙厂每天生产帐篷的数量提高了，则?????????????????????????????????????? 7分

．

答：乙厂每天生产帐篷的数量提高了．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

２３．解：（1）① 等边三角形；②重叠三角形的面积为．?????????????????????????? 5分

（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为；?????????????????????????? 7分

的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）能；t=2。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分．

２４．本小题满分1０分．

（Ⅰ）证明  将△沿直线对折，得△，连，

则△≌△．    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

有，，，．

又由，得 ．  ????????????????????????????????????????? 2分

由，

，

得． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

又，

∴△≌△．    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

有，．

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? ５分

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即． ??????????????????????????????????????????????????????? ６分

（Ⅱ）关系式仍然成立．  ???????????????????????????????????????????????????????????? ７分

证明  将△沿直线对折，得△，连，

则△≌△． ???????????????????????????????????????????????????? 8分

有，，

，．

又由，得 ．

由，

．

得．   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

又，

∴△≌△．

有，，，

∴．  

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即．????????????????????????????????????????????????????????? ９分

（３）．能；在直线ＡＢ上取点Ｍ，Ｎ使∠ＭＣＮ＝４５°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

２５．（本题满分12分）

解：（1）设正方形的边长为cm，则

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，

则与的函数关系式为：

．

即．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．?????????????? 7分

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．??????????????????????????????????? 9分

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²．

说明：解答题各小题只给了一种解答及评分说明，其他解法只要步骤合理，解答正确，均应给出相应分数．

２６．（本小题满分12分）

解：（1）在Rt△ABC中，，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴，

∴，

∴．                                 ??????????????????????????????????????????????????????? 3′

（2）过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴．    　  ??????????????????????????????????????????? 6′

（3）若PQ把△ABC周长平分，

则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，   

解得：．

若PQ把△ABC面积平分，

则，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．???????????????? 9′

（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．     

此时，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C边长为．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12′