已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

(Ⅲ) 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

已知正项数列满足(0＜a＜1)，且．

求证：．

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求证：数列{

b

n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅲ） 设Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果对任意正整数n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求实数a的取值范围．

已知正项数列{a_n}的首项a₁=m，其中0＜m＜1，函数f(x)=

x

1+2x

．
（1）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），证明{

1

an

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），数列{b_n}满足b_n=

an

2n+1

，试证明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．