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    [例1] 已知a>b(ab),比较与的大小. 错解: a>b(ab).<. 错因:简单的认为大数的倒数必定小.小数的倒数必定大.正确的结论是:当两数同号时.大数的倒数必定小.小数的倒数必定大. 正解:.又 a>b(ab). (1)当a.b同号时.即a>b>0或b<a<0时.则ab>0,b-a<0, ,<. (2)当a.b异号时.则a>0,b<0, >0,<0>. [例2] 当a.b为两个不相等的正实数时.下列各式中最小的是( ) A. B. C. D. 错解:所以选B. 错因是由于在..中很容易确定最小.所以易误选B.而事实上三者中最小者.并不一定是四者中最小者.要得到正确的结论.就需要全面比较.不可遗漏与前三者的大小比较. 正解:由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A.B.C中.最小.而＝.由当ab时.a+b>2,两端同乘以.可得(a+b)·＞2ab, ＜.因此选D. [例3] 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值. 错解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 错因:上面的解答中.两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab.第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=.显然.这两个条件是不能同时成立的.因此.8不是最小值. 正解:原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 = (1+)+4. 由ab≤()2= 得:1-2ab≥1-=, 且≥16.1+≥17. ∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时.等号成立). ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是. [例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1.试比较的大小. 解法一: ∵0 < 1 - x2 < 1, ∴ ∴ 解法二: ∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ∴ ∴ 解法三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴ ∴左 - 右 = ∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴ ∴ [例5]已知x2 = a2 + b2.y2 = c2 + d2.且所有字母均为正.求证:xy≥ac + bd 证:证法一∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证:xy≥ac + bd 只需证:(xy)2≥(ac + bd)2 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式.显然成立 ∴xy≥ac + bd 证法二xy = ≥ 证法三 ∵x2 = a2 + b2.∴不妨设a = xsina, b = xcosa y2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos≤xy [例6] 已知x > 0.求证: 证:构造函数 则. 设2≤a<b 由 显然 ∵2≤a<b ∴a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x)在上单调递增.∴左边 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
    ①f（x）在[m，n]内是单调函数；
    ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
    （1）求证：函数y=g(x)=3-
    5
    x
    不存在“和谐区间”．
    （2）已知：函数y=
    (a2+a)x-1
    a2x
    （a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
    （3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
    bx+c
    ax
    的函数为例）

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    21、例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1
    （1）证明：|c|≤1．
    （2）x∈[-1，1]时，证明|g（x）|≤2．
    （3）设a＞0，当-1≤x≤1时，g（x）max=2，求f（x）．

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    例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1
    （1）证明：|c|≤1．
    （2）x∈[-1，1]时，证明|g（x）|≤2．
    （3）设a＞0，当-1≤x≤1时，g（x）max=2，求f（x）．

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