[例1]求过点的直线.使它与抛物线仅有一个交点. 错解: 设所求的过点的直线为.则它与抛物线的交点为 .消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点.解得所求直线为正解: ①当所求直线斜率不存在——青夏教育精英家教网—

[例1]求过点的直线.使它与抛物线仅有一个交点. 错解: 设所求的过点的直线为.则它与抛物线的交点为 .消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点.解得所求直线为正解: ①当所求直线斜率不存在时.即直线垂直轴.因为过点.所以即轴.它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时.直线为y = 1平行轴.它正好与抛物线只有一个交点.③一般地.设所求的过点的直线为,则. 令解得k = ,∴ 所求直线为综上.满足条件的直线为: [例2]已知曲线C:与直线L:仅有一个公共点.求m的范围. 错解:曲线C:可化为①.联立.得: .由Δ＝0,得. 错因:方程①与原方程并不等价.应加上. 正解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分..结合图形易求得m的范围为. 注意:在将方程变形时应时时注意范围的变化.这样才不会出错. [例3]已知双曲线.过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A.B两点.且P为AB中点. 错解:(1)过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求. (2)设过P的直线方程为.代入并整理得: ∴.又∵ ∴ 解之得:k=2.故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的. 正解:接以上过程.考虑隐含条件“Δ>0 .当k=2时代入方程可知Δ<0.故这样的直线不存在. [例4]已知A.B是圆与x轴的两个交点.CD是垂直于AB的动弦.直线AC和DB相交于点P.问是否存在两个定点E.F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在.求出E.F的坐标,若不存在.请说明理由. 解:由已知得 A , 设 P , C ( ) , 则 D (), 由A.C.P三点共线得 ① 由D.B.P三点共线得 ② ①×② 得 ③ 又 , ∴. 代入③得 . 即点P在双曲线上. 故由双曲线定义知.存在两个定点E (-, 0 ). F (, 0 ).使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值). [例5]已知椭圆的中心在坐标原点O.焦点在坐标轴上.直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q.且OP⊥OQ.|PQ|=.求椭圆的方程. 解:设所求椭圆的方程为=1. 依题意知.点P.Q的坐标满足方程组: 将②代入①.整理得 . ③ 设方程③的两个根分别为..则直线y=x+1和椭圆的交点为 P(,+1).Q(,+1) 由题设OP⊥OQ.|OP|=.可得整理得解这个方程组.得或根据根与系数的关系.由③式得 (1) 或 (2) 解方程组得或故所求椭圆方程为 =1 . 或 =1. [例6]已知椭圆C1:＝1.抛物线C2:.且C1.C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(1)当AB⊥轴时.求.的值.并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上,(2)若＝.且抛物线C2的焦点在直线AB上.求的值及直线AB的方程. 解:(1)当AB⊥轴时.点A.B关于轴对称.所以＝0.直线AB的方程为＝1. 从而点A的坐标为(1.)或(1.-). 因为点A在抛物线上.所以.＝. 此时.抛物线C2的焦点坐标为(.0).该焦点不在直线AB上. (2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时.由(1)知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为 . 由消去得 ① 设A.B的坐标分别为 ().(). 则.是方程①的两根.+＝. 因为AB既是过C1的右焦点的弦.又是C2的焦点的弦. 所以|AB|＝(2-)+(2-)＝4-.且 |AB|＝()+()＝＝. 从而＝4- 所以.即解得. 因为C2的焦点F.()在直线上.所以. 即当时直线AB的方程为, 当时直线AB的方程为. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。