练习册

  • 练习册
  • 试题
    [例1]已知点T是半圆O的直径AB上一点.AB=2.OT=(0<<1).以AB为直腰作直角梯形.使垂直且等于AT.使垂直且等于BT.交半圆于P.Q两点.建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程, (2)计算出点P.Q的坐标, (3)证明:由点P发出的光线.经AB反射后.反射光线通过点Q. 解: (1 ) 显然, 于是 直线的方程为, (2)由方程组 解出 ., (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知.由点P发出的光线经点T反射.反射光线通过点Q. [例2]设P是圆M:(-5)2+(-5)2=1上的动点.它关于A的对称点为Q.把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S.求|SQ|的最值. 解:设P(,).则Q(18-, -).记P点对应的复数为+.则S点对应的复数为: (+)·=-+.即S(-, ) ∴ 其中可以看作是点P到定点B的距离.共最大值为最小值为.则 |SQ|的最大值为.|SQ|的最小值为. [例4]已知两点M且点P使成公差小于零的等差数列. (1)点P的轨迹是什么曲线? (2)若点P坐标为.为的夹角.求tanθ. 解:(1)记P(, ).由M得 所以 于是. 是公差小于零的等差数列等价于 即 所以.点P的轨迹是以原点为圆心.为半径的右半圆. (2)点P的坐标为.. 因为 0〈. 所以 . [例4]舰A在舰B的正东6千米处.舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米.它们准备捕海洋动物.某时刻A发现动物信号.4秒后B.C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的.动物信号的传播速度为1千米/秒.炮弹的速度是千米/秒.其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高.问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 分析:答好本题.除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上.又在以A.B为焦点的抛物线上).还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系.将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位.一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取AB所在直线为轴.以AB的中点为原点.建立如图所示的直角坐标系.由题意可知.A.B.C舰的坐标为.(-5.2). 由于B.C同时发现动物信号.记动物所在位置为P.则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上.易求得其方程为-3+7=0. 又由A.B两舰发现动物信号的时间差为4秒.知|PB|-|PA|=4.故知P在双曲线=1的右支上. 直线与双曲线的交点为(8.5).此即为动物P的位置.利用两点间距离公式.可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式.得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°. 设发射炮弹的仰角是θ.初速度v0=.则, ∴sin2θ=,∴仰角θ=30°. 答:方位角北偏东300.仰角30°. 解决圆锥曲线综合题.关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义.标准方程.图形与几何性质.注意挖掘知识的内在联系及其规律.通过对知识的重新组合.以达到巩固知识.提高能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题.需构造参数满足的不等式.通过求不等式(组)求得参数的取值范围,或建立关于参数的目标函数.转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题.解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义.可考虑利用数形结合法解,当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系.则可先建立目标函数.再求这个函数的最值. [例5]已知抛物线C:2=4. (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线分别重合.试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程, (2)若M(m,0)是轴上的一定点.Q是(1)所求轨迹上任一点.试问|MQ|有无最小值?若有.求出其值,若没有.说明理由. 解:由抛物线2=4,得焦点F(1,0),准线:=-1. (1)设P(,).则B(2-1,2),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=,又设点B到的距离为,则|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2-2)2+(2)2=2(2-2),化简得P点轨迹方程为2=-1(＞1). (2)设Q(,y),则 |MQ|= (ⅰ)当m-≤1,即m≤时.函数=[-(m-)2]+m-在上递增.故无最小值.亦即|MQ|无最小值. (ⅱ)当m-＞1,即m＞时.函数=[2-(m-)2]+m-在=m-处有最小值m-,∴|MQ|min=. [例6]已知抛物线C的对称轴与轴平行.顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位.则在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半,若将抛物线C向左平移1个单位.则所得抛物线过原点.求抛物线C的方程. 解:设所求抛物线方程为(-)2=(-)( ∈R, ≠0) ① 由①的顶点到原点的距离为5.得=5 ② 在①中.令=0.得2-2+2+=0.设方程的二根为1,2.则 |1-2|=2. 将抛物线①向上平移3个单位.得抛物线的方程为 (-h)2=(--3) 令=0.得2-2+2++3=0.设方程的二根为3,4.则 |3-4|=2. 依题意得2=·2. 即 4(+3)= ③ 将抛物线①向左平移1个单位.得(-+1)2=(-), 由抛物线过原点.得(1-)2=- ④ 由②③④得=1.=3, =-4或=4.=-3, =-4. ∴所求抛物线方程为(-3)2=+4.或(+3)2=4(+4). 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB＝2、OT＝t(0＜ｔ＜1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系．

    (Ⅰ)写出直线的方程；

    (Ⅱ)计算出点P、Q的坐标；

    (Ⅲ)证明：沿PT射出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q．

    查看答案和解析>>

    已知T是半圆O的直径AB上一点，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA1B1B中，AA1垂直于AT，且|AA1|=|AT|，BB1垂直于BT，且|BB1|=|BT|，A1B1交半圆于P，Q两点，建立如图所示直角坐标系，O为坐标原点．
    （Ⅰ）求直线A1B1的方程；               
    （Ⅱ）求P，Q两点的坐标；
    （Ⅲ）证明：由点P发出的光线PT，经AB反射后，反射光线通过点Q．

    查看答案和解析>>

    已知T是半圆O的直径AB上一点，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA1B1B中，AA1垂直于AT，且|AA1|=|AT|，BB1垂直于BT，且|BB1|=|BT|，A1B1交半圆于P，Q两点，建立如图所示直角坐标系，O为坐标原点．
    （Ⅰ）求直线A1B1的方程；　　　　　　　
    （Ⅱ）求P，Q两点的坐标；
    （Ⅲ）证明：由点P发出的光线PT，经AB反射后，反射光线通过点Q．

    查看答案和解析>>

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
    B．已知二阶矩阵A=
    2a
    b0
    属于特征值-1的一个特征向量为
    1
    -3
    ，求矩阵A的逆矩阵．

    C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
    x=-
    		3
    t
    y=1+t
    （t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
    D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
    （2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

    查看答案和解析>>

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
    B．已知二阶矩阵属于特征值-1的一个特征向量为，求矩阵A的逆矩阵．

    C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
    D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
    （2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案