数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N⁺）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）b_n=log₂（a_n+1-n），若（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）＞k

n+1

对一切n≥2恒成立，求实数k的范围．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-2a₁，S_n，2a_n+1成等差数列．
（1）当a₁=2时，求{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=2时，设b_n=log₂ （a_n²）-1，若对于n∈N*，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜k恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设c_n=S_n+1，问：是否存在a₁，使数列{c_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值，若不存在，请说明理由．