题型1:直线与椭圆的位置关系例1．已知椭圆:.过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A.B两点.求弦AB的长. 解析:a=3,b=1,c=2.则F(-2.0). 由题意知:与联立消去y得:. 设——青夏教育精英家教网—

题型1:直线与椭圆的位置关系例1．已知椭圆:.过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A.B两点.求弦AB的长. 解析:a=3,b=1,c=2.则F(-2.0). 由题意知:与联立消去y得:. 设A(.B(.则是上面方程的二实根.由违达定理...又因为A.B.F都是直线上的点. 所以|AB|= 点评:也可让学生利用“焦半径公式计算. 例2．中心在原点.一个焦点为F1(0.)的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为.求椭圆的方程. 解析:设椭圆的标准方程为.由F1(0.)得把直线方程代入椭圆方程整理得:. 设弦的两个端点为.则由根与系数的关系得: .又AB的中点横坐标为. .与方程联立可解出故所求椭圆的方程为:. 点评:根据题意.可设椭圆的标准方程.与直线方程联立解方程组.利用韦达定理及中点坐标公式.求出中点的横坐标.再由F1(0.)知.c=..最后解关于a.b的方程组即可. 例3．直线与曲线的公共点的个数为( ) 2 4 解析:将代入得:. .显然该关于的方程有两正解.即x有四解.所以交点有4个.故选择答案D. 点评:本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧.同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查. 例4．已知椭圆C的焦点分别为F1(.0)和F2(2.0).长轴长为6.设直线y=x+2交椭圆C于A.B两点.求线段AB的中点坐标. 解析:设椭圆C的方程为. 由题意a=3.c=2.于是b=1. ∴椭圆C的方程为+y2＝1．由得10x2+36x+27＝0. 因为该二次方程的判别式Δ＞0.所以直线与椭圆有两个不同的交点. 设A(x1.y1).B(x2.y2). 则x1+x2＝. 故线段AB的中点坐标为()．点评:本题主要考查椭圆的定义标准方程.直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式. 题型2:直线与双曲线的位置关系例5．(1)过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条.分别求出它们的方程. (2)直线与双曲线相交于A.B两点.当为何值时.A.B在双曲线的同一支上?当为何值时.A.B分别在双曲线的两支上? 解析:(1)解:若直线的斜率不存在时.则.此时仅有一个交点.满足条件, 若直线的斜率存在时.设直线的方程为则. . ∴. . 当时.方程无解.不满足条件, 当时.方程有一解.满足条件, 当时.令. 化简得:无解.所以不满足条件, 所以满足条件的直线有两条和. (2)把代入整理得:--(1) 当时.. 由>0得且时.方程组有两解.直线与双曲线有两个交点. 若A.B在双曲线的同一支.须>0 .所以或. 故当或时.A.B两点在同一支上,当时.A.B两点在双曲线的两支上. 点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线.另一种是与双曲线相切的直线也有两条. 例5．(1)求直线被双曲线截得的弦长, (2)求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程. 解析:由得得(*) 设方程(*)的解为.则有得. (2)方法一:若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点.则设直线的方程为.它被双曲线截得的弦为对应的中点为. 由得(*) 设方程(*)的解为.则. ∴. 且. ∴. 得或. 方法二:设弦的两个端点坐标为.弦中点为.则得:. ∴. 即. 即点评:(1)弦长公式,(2)有关中点弦问题的两种处理方法. 例7．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线.且与双曲线的两支相交.求该双曲线离心率的范围. 解析:设双曲线的方程为..渐近线.则过的直线方程为.则. 代入得. ∴即得. ∴.即得到. 点评:直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系.取值范围往往与判别式的取值建立联系. 题型3:直线与抛物线的位置关系例8．已知抛物线方程为.直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3.求p的值. 解析:设与抛物线交于由距离公式|AB|== 由从而由于p>0.解得点评:方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交,有两组相同实数解则相切,无实数解则相离. 例9．2003上海春.4)直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是 . 答案:(3.2) 解法一:设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A(x1.y1),B(x2.y2),其中点为P(x0.y0). 由题意得.(x-1)2=4x.x2-6x+1=0. ∴x0==3.y0=x0-1=2.∴P(3.2). 解法二:y22=4x2.y12=4x1.y22-y12=4x2-4x1. =4.∴y1+y2=4.即y0=2.x0=y0+1=3. 故中点为P(3.2). 点评:本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法. 例10．抛物线方程为y2=p(x+1)(p＞0).直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边. (1)求证:直线与抛物线总有两个交点, (2)设直线与抛物线的交点为Q.R.OQ⊥OR.求p关于m的函数f(m)的表达式, 的条件下.若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为.求此直线的方程, 的条件下.若m变化.使得原点O到直线QR的距离不大于.求p的值的范围. 解:(1)抛物线y2=p(x+1)的准线方程是x=-1-.直线x+y=m与x轴的交点为(m.0).由题设交点在准线右边.得m＞-1-.即4m+p+4＞0. 由得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0. 而判别式Δ=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4). 又p＞0及4m+p+4＞0.可知Δ＞0. 因此.直线与抛物线总有两个交点, (2)设Q.R两点的坐标分别为(x1.y1).(x2.y2).由(1)知.x1.x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的两根. ∴x1+x2=2m+p.x1·x2=m2-p. 由OQ⊥OR.得kOQ·kOR=-1. 即有x1x2+y1y2=0. 又Q.R为直线x+y=m上的点. 因而y1=-x1+m.y2=-x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0. ∴p=f(m)=. 由得m＞-2.m≠0, 由于抛物线y2=p(x+1)的焦点F坐标为(-1+.0).于是有 .即|p-4m-4|=4. 又p= ∴||=4. 解得m1=0.m2=-.m3=-4.m4=-. 但m≠0且m＞-2.因而舍去m1.m2.m3.故所求直线方程为3x+3y+4=0. (理)解法一:由于原点O到直线x+y=m的距离不大于.于是 .∴|m|≤1. 由(2).知m＞-2且m≠0. 故m∈［-1.0)∪(0.1］. 由(2).知f(m)==(m+2)+-4. 当m∈［-1.0)时.任取m1.m2.0＞m1＞m2≥-1.则 f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+() =(m1-m2)［1-］. 由0＞m1＞m2≥-1.知0＜(m1+2)(m2+2)＜4.1-＜0. 又由m1-m2＞0知f(m1)＜f(m2)因而f(m)为减函数. 可见.当m∈［-1.0)时.p∈(0.1］. 同样可证.当m∈(0.1］时.f(m)为增函数.从而p∈(0.］. 解法二:由解法一知.m∈［-1.0)∪知 p=f(m)=. 设t=.g(t)=t+2t2.则t∈.又 g(t)=2t2+t=2(t+)2-. ∴当t∈(-∞.-1］时.g(t)为减函数.g(t)∈［1.+∞). 当t∈［1.+∞)时.g(t)为增函数.g(t)∈［3.+∞). 因此.当m∈［-1.0］时.t∈(-∞.-1］.p=∈(0.1］, 当m∈(0.1］时.t∈［1.+∞).p∈(0.］. 点评:本题考查抛物线的性质与方程.抛物线与直线的位置关系.点到直线的距离.函数与不等式的知识.以及解决综合问题的能力. 例11．已知抛物线y2=4x.过点P(4.0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.则y12+y22的最小值是 . 解析:显然³0.又＝4()³8.当且仅当时取等号.所以所求的值为32. 点评:该题考查直线与抛物线位置关系下的部分求值问题.结合基本不等式求得最终结果. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，过F₁作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF₂垂直于x轴，则椭圆的离心率为

-1

．

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我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：

=1的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：

x-y+

=0的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：

=1（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明．
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）．

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我们知道，直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面的问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：

=1的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：

x-y+

=0的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线l与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：