(2)第三项的系数为-.第五项的系数为.由第三项与第五项的系数之比为-可得n＝10.则＝.令40-5r＝0.解得r＝8.故所求的常数项为＝45.选A, (3)令.得.令.得, 点评:本题考查二项式——青夏教育精英家教网—

(2)第三项的系数为-.第五项的系数为.由第三项与第五项的系数之比为-可得n＝10.则＝.令40-5r＝0.解得r＝8.故所求的常数项为＝45.选A, (3)令.得.令.得, 点评:本题考查二项式展开式的特殊值法.基础题, 题型6:二项式定理的应用例11．证明下列不等式: (1)≥()n,(a.b∈{x|x是正实数},n∈N); (2)已知a.b为正数.且+=1.则对于n∈N有 (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. 证明:(1)令a=x+δ.b=x-δ.则x=, an+bn=n+n =xn+Cn1xn-1δ+-+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+-(-1)nCnnδn =2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+-) ≥2xn 即≥()n n=an+Cn1an-1b+-+Cnnbn (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+-+Cnnan 上述两式相加得: 2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+-+Cnk(an-kbk+bn-kak)+-+Cnn(an+bn) (*) ∵+=1.且a.b为正数 ∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4 又∵ an-kbk+bn-kak≥2=2()n ∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22()n+-+Cnn-12()n ∴(a+b)n-an-bn ≥(Cn1+Cn2+-+Cnn-1)·()n ≥(2n-2)·2n =22n-2n+1 点评:利用二项式定理的展开式.可以证明一些与自然数有关的不等式问题.题(1)中的换元法称之为均值换元.这样消去δ奇数次项.从而使每一项均大于或等于零.题(2)中.由由称位置二项式系数相等.将展开式倒过来写再与原来的展开式相加.这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法. 例12．(1)求4×6n+5n+1被20除后的余数, (2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+-+Cnn-1×7除以9.得余数是多少? (3)根据下列要求的精确度.求1.025的近似值.①精确到0.01,②精确到0.001. 解析:(1)首先考虑4·6n+5n+1被4整除的余数. ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+-+Cn+1n·4+1. ∴其被4整除的余数为1. ∴被20整除的余数可以为1.5.9.13.17. 然后考虑4·6n+1+5n+1被5整除的余数. ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+-+Cnn-1·5+1). ∴被5整除的余数为4. ∴其被20整除的余数可以为4.9.14.19. 综上所述.被20整除后的余数为9. (2) 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+-+Cnn-1·7 =(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9+(-1)nCnn-1 (i)当n为奇数时原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9-2 ∴除以9所得余数为7. (ii)当n为偶数时原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9 ∴除以9所得余数为0.即被9整除. 5≈5 =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025 ∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5 ∴①当精确到0.01时.只要展开式的前三项和.1+0.10+0.004=1.104.近似值为1.10. ②当精确到0.001时.只要取展开式的前四项和.1+0.10+0.004+0.0008=1.10408.近似值为1.104. 点评:(1)用二项式定理来处理余数问题或整除问题时.通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论, (2)用二项式定理来求近似值.可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项. 【查看更多】

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