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    题目列表(包括答案和解析)

    （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

         已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

    （1）       判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；    

    （2）       求所有满足“2和性质”的一次函数；

    （3）       设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

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    （本题满分16分）

       （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

     

    （理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

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    （本题满分16分）

       在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

       （1）求圆的方程；

       （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （本题满分16分）

       （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

     

    （理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

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    （本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

       （1）求圆的方程；

       （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由

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    一、填空题：

    1． ，均有x 2+ x +1≥0  2．第一象限  3．充分而不必要条件  4． 0.01

    5． 4   6． 2550   7．    8．①④  9．  R(S1＋S2＋S3＋S4)

    10． ，11．   12．1  13．  14．

    二、解答题：

    15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

         3′

    直方图如右所示        6′

    （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 所以，抽样学生成绩的合格率是%..       9 ′

    利用组中值估算抽样学生的平均分

    ＝

    ＝71

    估计这次考试的平均分是71分                                            12′      

    16.（1）证明:连结BD.

    在长方体中，对角线.

    又 E、F为棱AD、AB的中点，

     .

     .                           

    又B1D1平面，平面，

      EF∥平面CB1D1.                       6′

    （2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，

     AA1⊥B1D1.

    又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

     B1D1⊥平面CAA1C1.                 

    又 B1D1平面CB1D1，

    *平面CAA1C1⊥平面CB1D1．                    13′

    17． （1）由得                  4′

           由正弦定理得

                 

                                           6′

                        8′

     （2）

         =                                  10′

     =                                          12′

      由（1）得

                                15′

    18．（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，

    ∴a＝1，b＝c＝，

    故C的方程为：y2＋＝1　                  5′

    （2）由＝λ，

    ∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合=              7′

    当O点与P点重合=时，m=0

    当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。

    设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

    得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

    Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）

    x1＋x2＝， x1x2＝　                          11′

    ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

    消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

     

    整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　                         13′

    m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，

    因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

    容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立

    即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′

    19． ⑴由题意得                  4′

    （n≥2），

    又∵，

    数列是以为首项，以2为公比的等比数列。        8′

    [则（）]

    ⑵由及得

    ，                                   11′

    则          13′

     

                                                   16′

    20． （1）设

                    ∴     ∴

               由

               又∵    ∴    

    ∴                               6′ 

               于是

    由得或；   由得或

               故函数的单调递增区间为和，

    单调减区间为和                              10′

    （2）证明:据题意且x1<x2<x3,

    由(1)知f (x1)>f (x2)>f (x3),

              14′

    即ㄓ是钝角三角形．                                            18′

     

     

     

     

    第Ⅱ部分  加试内容

    一．必答题：

    1．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知                       4′

       （2）ξ可取1，2，3，4.

        ，

        ；    8′

        故ξ的分布列为

    ξ

    1

    2

    3

    4

    P

                                                                 

       

    答：ξ的数学期望为                                      10′

    2．（1）由得，

    求得                               3′

    （2）猜想                                     5′

    证明：①当n=1时，猜想成立。                            6′

    ②设当n=k时时，猜想成立，即，      7′

    则当n=k+1时，有，

    所以当n=k+1时猜想也成立                                9′

    ③综合①②，猜想对任何都成立。                  10′

    二、选答题：

    3．（1）∵DE2=EF?EC，

              ∴DE : CE=EF: ED．

              ∵ÐDEF是公共角，

              ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

              ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

              ∴ÐP=ÐEDF．----5′

    （2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

         ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

    ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．   10′

    4．（矩阵与变换）

    解：．

    ，                                                5′

    椭圆在的作用下的新曲线的方程为         10′

    5．（1）直线的参数方程为，即．         5′

       （2）把直线代入，

    得，，
    则点到两点的距离之积为．                   10′

    6．

            7′

    当且仅当  且

     F有最小值                                         10′

     

     


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