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在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C₁的参数方程为：（为参数）；射线C₂的极坐标方程为：,且射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为
(I )求曲线C₁的普通方程；
(II)设A、B为曲线C₁与y轴的两个交点，M为曲线C₁上不同于A、B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点，求证|OP|.|OQ|为定值.

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在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．曲线C₁的参数方程为：（φ为参数）；射线C₂的极坐标方程为：θ=，且射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为
（I ）求曲线C₁的普通方程；
（II）设A、B为曲线C₁与y轴的两个交点，M为曲线C₁上不同于A、B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，求证|OP|．|OQ|为定值．

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

D

D

C

A

C

B

A

C

C

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．13     14．       15．2           16．1005

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

解（I）

  （Ⅱ）由得，

18．（本小题满分12分）

解（I）记事件A；射手甲剩下3颗子弹，

（Ⅱ）记事件甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件；甲命中2次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件

（Ⅲ）的取值分别为16，17，18，19，20，

19．(本题满分12分)

证（Ⅰ）因为侧面，故

 在中，   由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

（Ⅱ）由

从而  且 故

 不妨设  ，则，则

又  则

在中有   从而（舍负）

故为的中点时，

 法二：以为原点为轴，设，则       由得    即

      化简整理得       或

     当时与重合不满足题意

     当时为的中点

     故为的中点使

 （Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点

 连则，连则，连则

 连则，且为矩形，

又   故为所求二面角的平面角

在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角

因为  

故

20．（本小题满分12分）

（1）由

        切线的斜率切点坐标（2，5+）

        所求切线方程为

   （2）若函数为上单调增函数，

        则在上恒成立，即不等式在上恒成立

        也即在上恒成立。

        令上述问题等价于

        而为在上的减函数，

        则于是为所求

21．（本小题满分12分）

解：（1），

        ∵直线l：x－y+2=0与圆x²+y²=b²相切，

∴=b，∴b=，b²=2，∴=3.                                                    

∴椭圆C₁的方程是

（2）∵MP＝MF，∴动点M到定直线l₁：x＝－1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C₂的方程为。

（3）Q（0，0），设，

，

由得  ，

，化简得，

当且仅当时等号成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴当.    故的取值范围是.

22．（本小题满分14分）

解（I）由题意，令

 （Ⅱ）

  （1）当时，成立：

  （2）假设当时命题成立，即

       当时，