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一、填空题

1． ；   2．；   3．；   4．；    5．；

6．；      7．；   8．3；    9．．   10．

11．；   12．；  13．；      14．．

二、解答题

15．解：（1）由得：

，

由正弦定理知:  ，

（2），

由余弦定理知：

16．解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接

因为是正三角形，

所以

又是正三棱柱，

所以面，所以

所以有面

因为面

所以；

（Ⅱ）为的三等分点，．

连结，，

∵ ，∴ ．

∴ ， ∴

又∵面，面

∴ 平面

17．解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得

又由知，

所以

   （Ⅱ） 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．

当且时，由，得．

又，所以T为线段F₂Q的中点．

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是

（Ⅲ） C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得  所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M．

当时，，

由，

，

，得

18．解：（1）（或）（）

（2）

当且仅当，即V=4立方米时不等式取得等号

所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．

（3）解法1：由题意得不等式：

当保护罩为正四棱锥形状时，，代入整理得：，解得；

当保护罩为正四棱柱形状时，，代入整理得：，解得

又底面正方形面积最小不得少于，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米

解法2. 解方程，即得两个根为

由于函数在上递减，在上递增，所以当时，总费用超过8000元，所以V取得最小值 

由于保护罩的高固定为2米，所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面积是正四棱锥底面积的．所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小， m² 

又底面正方形面积最小不得少于，，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米

19．解：（Ⅰ）令得

当为增函数；

当为减函数，

可知有极大值为

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

设

由（Ⅰ）知，，

（Ⅲ），由上可知在上单调递增，

  ①，

 同理  ②

两式相加得

20．解：（1）证明：因为

所以即

可化为:

当且仅当即时

故 

（2）因为

 =

 =

又由可知 =

即 =

解之得  

故得所以

因此的通项公式为..

   （3）解：

所以

即S的最大值为

三、附加题

21A．（1）∵DE²=EF?EC，∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

     ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

21B．法一：特殊点法

在直线上任取两点（2、1）和（3、3），…………1分

则?即得点  …………3 分

即得点

将和分别代入上得

则矩阵 …………6 分

则     …………10 分

法二：通法

设为直线上任意一点其在M的作用下变为…………1分

则…………3分

代入得：

其与完全一样得

则矩阵         …………6分

则           …………10分

21C．法一：将直线方程化为，    ………4分

，                       ………6分

设动点P，M，则 ，    ………8分

又 ，得；                        ………10分

法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，

将直线方程化为，………………4分

设P，M，，………6分

又MPO三点共线，， …………8分

转化为极坐标方程．   ………10分

21D．证明：  ∵a、b、c均为实数．

∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；

（＋）≥≥，当b=c时等号成立；

（＋）≥≥．

三个不等式相加即得++≥++，

当且仅当a=b=c时等号成立.

22．解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 cos<>．

由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．

（II），，

设平面ABE的法向量为，

则由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一个法向量为n₂＝（0，0，1），

．

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，其余弦值是－．

23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列为：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得 所以三等品率最多为