题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）
第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：
男 女
15
7 7 8 9 9 9
9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 5 6
7 4 2 1 18 0
1 0 19
若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”， 在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？
（2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（本小题满分13分）
为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(Ⅰ)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(Ⅱ)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（Ⅲ）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数、众数各是是多少？（精确到0.1）
（本小题满分12分）
编号为
的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
|
运动员编号 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
得分 |
15 |
35 |
21 |
28 |
25 |
36 |
18 |
34 |
|
运动员编号 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
得分 |
17 |
26 |
25 |
33 |
22 |
12 |
31 |
38 |
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
|
区间 |
|
|
|
|
人数 |
|
|
|
（Ⅱ）从得分在区间
内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50的概率．
（本小题满分12分）
编号分别为
的16名篮球运动员在某次比赛中得分记录如下；
|
编号 |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
|
得分 |
15 |
35 |
21 |
28 |
25 |
36 |
18 |
34 |
|
编号 |
A9 |
A10 |
A11 |
A12 |
A13 |
A14 |
A15 |
A16 |
|
得分 |
17 |
26 |
25 |
33 |
22 |
12 |
31 |
38 |
（Ⅰ）将得分在对应区间的人数填入相应的空格内：
|
区 间 |
|
|
|
|
人 数 |
|
|
|
（Ⅱ）从得分在区间
内的运动员中随机抽取2人.
(1)用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
(2)求这两人得分之和大于50的概率.
（本小题满分12分）
第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：
男 女
15 7 7 8 9 9 9
9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 5 6
7 4 2 1 18 0
1 0 19
若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”， 在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？
（2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
一、填空题
1． 
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
；
7．
； 8．3； 9．
． 10．
11．
； 12．
； 13．
； 14．
．
二、解答题
15．解：（1）由
得：
，
由正弦定理知: 
，
（2）
，
由余弦定理知：
16．解：（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
因为
是正三角形，
所以
又
是正三棱柱，
所以
面
，所以
所以有
面
因为
面
所以
；
（Ⅱ）
为
的三等分点，
．
连结
，
，
∵ 
，∴ 
．
∴ 
， ∴ 
又∵
面
，
面
∴ 
平面
17．解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得
又由
知
，
所以
（Ⅱ） 当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上．
当
且
时，由
，得
．
又
，所以T为线段F2Q的中点．
在△QF
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
（Ⅲ） C上存在点M（
）使S=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M．
当时，
，
由
，
，
，得
18．解：（1）
（或
）（
）
（2）
当且仅当
，即V=
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．
（3）解法1：由题意得不等式：
当保护罩为正四棱锥形状时，
，代入整理得：
，解得
；
当保护罩为正四棱柱形状时，
，代入整理得：
，解得
又底面正方形面积最小不得少于
，所以，底面正方形的面积最小可取
解法2. 解方程
，即
得两个根为
由于函数
在
上递减，在
上递增，所以当
时，总费用超过8000元，所以V取得最小值
由于保护罩的高固定为
．所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，
m2
又底面正方形面积最小不得少于，
，所以，底面正方形的面积最小可取
19．解：（Ⅰ）
令
得
当
为增函数；
当
为减函数，
可知
有极大值为
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，
，
（Ⅲ）
，由上可知
在
上单调递增，
①，
同理
②
两式相加得
20．解：（1）证明：因为
所以
即
可化为:
当且仅当
即
时
故
（2）因为
=
=
又由
可知
=
即
=
解之得 
故得
所以
因此
的通项公式为..
（3）解：
所以
即S的最大值为
三、附加题
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．法一：特殊点法
在直线
上任取两点（2、1）和（3、3），…………1分
则
?
即得点
…………3 分
即得点
将
和
分别代入上得
则矩阵
…………6 分
则
…………10 分
法二：通法
设
为直线上任意一点其在M的作用下变为
…………1分
则
…………3分
代入得：
其与完全一样得
则矩阵
…………6分
则
…………10分
化为
， ………4分
，
………6分
设动点P
，M
，则 
， ………8分
又 
，得
；
………10分
法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，
将直线方程化为，………………4分
设P
，M
，
，………6分
又MPO三点共线，
，
…………8分
转化为极坐标方程． ………10分
21D．证明： ∵a、b、c均为实数．
∴
（
＋
）≥
≥
，当a=b时等号成立；
（＋
）≥
≥
，当b=c时等号成立；
（＋）≥
≥
．
三个不等式相加即得++≥++，
当且仅当a=b=c时等号成立.
22．解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
cos<
>
．
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是
．
（II）
，
，
设平面ABE的法向量为
，
则由
，
，得
取n＝（1，2，2），
平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），
．
由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－
．
23．解：
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列为：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为
，则此时1件产品的平均利润为
依题意，
，即
，解得
所以三等品率最多为
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