题目列表(包括答案和解析)
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一、 选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
C
C
A
B
C
A
D
C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9)7 (10)2 (11) (12)2,12π (13)1, (14)⑤
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(15)(本小题共12分)
解:(Ⅰ)f(x)=2sinxcosx+(2cos2x1)
=sin2x+cos2x …………………………………………2分(化对一个给一分)
=2sin(2x+)………………………………………………………………………3分
x
ωx+
0
2
f(x)
0
2
0
2
0
…………………………………………………………………………………………6分
(x的值对两个给一分,全对给2分,不出现0.5分.f(x)的值全对给1分)
图象略.(图象完全正确给分)………………………………………………………8分
(Ⅱ)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈) …………………………………………9分
得kπ+ ≤x≤kπ+(k∈)
单调减区间为(k∈)………………………………………12分
注:(k∈)也可以
(16)(本小题共14分)
解:(Ⅰ)证明:连接AC1,设AC1∩A1C=E,连接DE…………………………1分
∵A1B1C1-ABC是直三棱柱,且AC=AA1=
∴AA1C1C是正方形,E是AC1中点,
又D为AB中点 ∴ED∥BC1…………………………………………3分
又ED平面A1CD,BC1平面A1CD
∴BC1∥平面A1CD………………………………………………………5分
(Ⅱ)法一:设H是AC中点,F是EC中点,连接
DH,HF,FD……………………………6分
∵D为AB中点,
∴DH∥BC,同理可证HF∥AE,又AC⊥CB,
故DH⊥AC
又侧棱AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥DH ∴DH⊥平面AA1C1C………8分
由(Ⅰ)得AA1C1C是正方形,则A1C⊥AE
∴A1C⊥HF
∵HF是DF在平面AA1C1C上的射影,
∴DF⊥A1C
∴∠DFH是二面角A-A1C-D的平面角…10分
又DH=,…………………………………12分
∴在直角三角形DFH中,……………13分
∴二面角A-A1C-D的大小为………………………………14分
法二:在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∵AC⊥CB ∴分别以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.因为BC=1,AA1=AC=,则C(0,0,0),A(,0,0),A1(,0,),B(0,1,0),,… 7分设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),则
…………………………………8分
∵=,=(,0,),
∴ 则,……9分
取x=1,得平面A1DC的一个法向量为n=(1,,1).…………10分
m==(0,1,0)为平面CAA1C1的一个法向量.…………………11分
………………………………12分
由图可知,二面角A-A1C-D的大小为……………………14分
(17)(本小题共14分)
解:(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),……1分
则,……3分
化简可得(x5)2+y2=16即为所求……5分
(Ⅱ)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的
圆,如图则直线l2是此圆的切线,连接CQ,则
|QM|=…7分
当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值 …………………………………………8分
|CQ|=……10分(公式、结果各一分)
此时|QM|的最小值为,…………………………………12分
这样的直线l2有两条,设满足条件的两个公共点为M1,M2,
易证四边形M1CM2Q是正方形
∴l2的方程是x=1或y=4……………………………………………14分
(18)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)无故障使用时间不超过一年的概率为,
无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为,
无故障使用时间超过三年的概率为,…………1分
设销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的事件为A……2分
………………………………………………………7分
答:销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率为.
(Ⅱ)设销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的事件为B……8分
…………12分(两类情况,每类2分)
……………………………………………………………13分
答:销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率为.
(19)(本小题共14分)
解:(Ⅰ)由已知可得
,……………………………………………………………2分
所以a=2,b=1,…………………………………………………………3分
椭圆方程为 …………………………………………………4分
(Ⅱ)α+β是定值π ……………………………………………………5分
由(Ⅰ),A2(2,0),B(0,1),且l∥A2B
所以直线l的斜率,……………………………………6分
设直线l的方程为y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2)
…………………………………………………………7分
∴Δ=4m24(2m22)=84m2≥0,即≤m≤…………………8分
…………………………………………………………9分
∵P、Q两点不是椭圆的顶点 ∴α≠、β≠
∴…………………………10分
又因为y1=x1+m,y2=x2+m
=
=
∴ 又α,β∈(0,π)
∴α+β∈(0,2π)
∴α+β=π是定值.…………………………………………………………14分
(20)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)
,
即数列是以0为首项,1为公差的等差数列……………………3分
且,an=(n1)qn (n=1,2,3,…)
(Ⅱ)bn=an+2n=(n-1)qn+2n ……………………………………………………4分
∴b1=2,b2=q2+4,b3=2q3+8…………………………………………………5分
∴b1b3=(q2+4)22(2q3+8)=(q4+8q2+16) 4q316
=q44q3+8q2=q2(q24q+8)=q2[(q2)2+4]>0
∴>b1b3…………………………………………………………………8分
(Ⅲ)∵bn=(n1)qn+2n,n=1,2,3…,∴bn >0
b1=2,b1=q2+4,bn+1=nqn+1+2n+1
,
又
………………………………………9分
①当n=1时,b2bnb1bn+1,即
②当n≥2时,∵q>0,q2+4≥2?q?2=4q
∴(q2+4)(n1) 2nq≥4(n1)q2nq=2(n-2)q≥0又q2?2n>0
∴b2bnb1bn+1>0
由①②得≥0,即对于任意的正整数n, ≤恒成立
故所求的正整数k=1.…………………………………………………………13分
说明:其他正确解法按相应步骤给分.
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