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一、              选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

C

A

B

C

A

D

C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

(9)7    (10)2    (11)     (12)2,12π    (13)1,    (14)⑤

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共12分）

解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx+(2cos²x1)

=sin2x+cos2x …………………………………………2分（化对一个给一分）

=2sin(2x+)………………………………………………………………………3分

x

ωx+

0

2

f(x)

0

2

0

2

0

…………………………………………………………………………………………6分

（x的值对两个给一分，全对给2分，不出现0.5分.f(x)的值全对给1分）

图象略.（图象完全正确给分）………………………………………………………8分

（Ⅱ）由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈) …………………………………………9分

得kπ+ ≤x≤kπ+(k∈)

单调减区间为(k∈)………………………………………12分

注：(k∈)也可以
（16）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）证明：连接AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连接DE…………………………1分

∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，且AC=AA₁=

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中点，

又D为AB中点  ∴ED∥BC₁…………………………………………3分

又ED平面A₁CD，BC₁平面A₁CD

∴BC₁∥平面A₁CD………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：设H是AC中点，F是EC中点，连接

DH，HF，FD……………………………6分

∵D为AB中点，

∴DH∥BC，同理可证HF∥AE，又AC⊥CB，

故DH⊥AC

又侧棱AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥DH  ∴DH⊥平面AA₁C₁C………8分

由（Ⅰ）得AA₁C₁C是正方形，则A₁C⊥AE

∴A₁C⊥HF

∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，

∴DF⊥A₁C

∴∠DFH是二面角A-A₁C-D的平面角…10分

又DH=，…………………………………12分

∴在直角三角形DFH中，……………13分

∴二面角A-A₁C-D的大小为………………………………14分

法二：在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∵AC⊥CB ∴分别以CA,CB,CC₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.因为BC=1，AA₁=AC=，则C(0，0，0)，A（，0，0），A₁（，0，），B（0，1，0），，… 7分设平面A₁DC的法向量为n=(x，y，z)，则

…………………………………8分

∵=，=（，0，），

∴  则，……9分

取x=1，得平面A₁DC的一个法向量为n=(1，，1).…………10分

m==（0，1，0）为平面CAA₁C₁的一个法向量.…………………11分

  ………………………………12分
由图可知，二面角A-A₁C-D的大小为……………………14分

（17）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），……1分

则，……3分

化简可得（x5）²+y²=16即为所求……5分

（Ⅱ）曲线C是以点（5，0）为圆心，4为半径的

圆，如图则直线l₂是此圆的切线，连接CQ，则

|QM|=…7分

当CQ⊥l₁时，|CQ|取最小值 …………………………………………8分

|CQ|=……10分（公式、结果各一分）

此时|QM|的最小值为，…………………………………12分

这样的直线l₂有两条，设满足条件的两个公共点为M₁，M₂，

易证四边形M₁CM₂Q是正方形

∴l₂的方程是x=1或y=4……………………………………………14分

（18）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）无故障使用时间不超过一年的概率为，

无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为，

无故障使用时间超过三年的概率为，…………1分

设销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的事件为A……2分

………………………………………………………7分

答：销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率为.

（Ⅱ）设销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的事件为B……8分

…………12分（两类情况，每类2分）

……………………………………………………………13分

答：销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率为.

（19）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由已知可得

，……………………………………………………………2分

所以a=2，b=1，…………………………………………………………3分

椭圆方程为 …………………………………………………4分

（Ⅱ）α+β是定值π ……………………………………………………5分

由（Ⅰ），A₂（2，0），B（0，1），且l∥A₂B

所以直线l的斜率，……………………………………6分

设直线l的方程为y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

 …………………………………………………………7分

∴Δ=4m²4(2m²2)=84m²≥0，即≤m≤…………………8分

 …………………………………………………………9分

∵P、Q两点不是椭圆的顶点 ∴α≠、β≠

∴…………………………10分

又因为y₁=x₁+m，y₂=x₂+m

=

=

∴  又α，β∈（0，π）

∴α+β∈（0，2π）

∴α+β=π是定值.…………………………………………………………14分

（20）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

，

即数列是以0为首项，1为公差的等差数列……………………3分

且，a_n=(n1)qⁿ  (n=1，2，3，…)

（Ⅱ）b_n=a_n+2ⁿ=(n-1)qⁿ+2ⁿ ……………………………………………………4分

∴b₁=2,b₂=q²+4,b₃=2q³+8…………………………………………………5分

∴b₁b₃=(q²+4)²2(2q³+8)=(q⁴+8q²+16) 4q³16

=q⁴4q³+8q²=q²(q²4q+8)=q²[(q2)²+4]>0

∴>b₁b₃…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）∵b_n=(n1)qⁿ+2ⁿ，n=1，2，3…，∴b_n >0

b₁=2，b₁=q²+4，b_n+1=nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

，

又

………………………………………9分

①当n=1时，b₂b_nb₁b_n+1，即

②当n≥2时，∵q>0,q²+4≥2?q?2=4q

∴(q²+4)(n1) 2nq≥4(n1)q2nq=2(n-2)q≥0又q²?2ⁿ>0

∴b₂b_nb₁b_n+1>0

由①②得≥0，即对于任意的正整数n, ≤恒成立

故所求的正整数k=1.…………………………………………………………13分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.