两点.问:是否存在.使是以点为直角 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点,且AB⊥AC,|BC|=6.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q,请问:是否存在直线l,使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出所有满足条件的直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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已知圆C:x2+y2=2,坐标原点为O.圆C上任意一点A在x轴上的射影为点B,已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R,t≠0)

(1)求动点Q的轨迹E的方程;
(2)当t=
2
2
时,过点S(0,-
1
3
)的动直线l交轨迹E于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过T点?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

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设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1,P2两点,已知|P1P2|=8.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设m>0,过点M(m,0)作方向向量为=(1,)的直线与抛物线C相交于A,B两点,求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围;

(3)①对给定的定点M(3,0),过M作直线与抛物线C相交于A,B两点,问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由.

②对M(m,0)(m>0),过M作直线与抛物线C相交于A,B两点,问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明)

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如图,在直角坐标系xoy中,坐标原点O(0,0),以动直线l:y=mx+n(m,n∈R)为轴翻折,使得每次翻折后点O都落在直线y=2上.
(1)求以(m,n)为坐标的点的轨迹G的方程;
(2)过点E(0,
54
)作斜率为k的直线交轨迹G于M,N两点;(ⅰ)当+MN|=3时,求M,N两点的纵坐标之和;(ⅱ)问是否存在直线,使△OMN的面积等于某一给定的正常数,说明你的理由.

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已知点P是圆O:x2+y2=3上动点,以点P为切点的切线与x轴相交于点Q,直线OP与直线x=1相交于点N,若动点M满足:
NM
OQ
QM
OQ
=0
,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若过点F(2,0)的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A,B,设
AF
FB
,问在x轴上是否存在定点E,使得
OF
⊥(
EA
EB
)
?若存在,求出点E的坐标,若不存在,说明理由.

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一、选择题

1、B(A)   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C(D)  

7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A(C)

二、填空题

13、6          14、           15、31           16、

三、解答题

17、解:⑴由

       由 

        

       ∴函数的最小正周期T= …………………6分

       ⑵由

       ∴fx)的单调递减区间是

       ⑶,∴奇函数的图象左移 即得到的图象,

故函数的图象右移后对应的函数成为奇函数.…………………12分

18、(文)解:(1),又. ∴.

(2)至少需要3秒钟可同时到达点.

到达点的概率. 到达点的概率.

     故所求的概率.

(理)解:(Ⅰ)的概率分布为

1.2

1.18

1.17

由题设得,即的概率分布为

0

1

2

的概率分布为

1.3

1.25

0.2

所以的数学期望

(Ⅱ)由

,∴

 

19、解:(1)取中点,连结,∵的中点,的中点.

  所以,所以………………………… 2分

平面,所以平面………………………………………… 4分

(2)分别在两底面内作,连结,易得,以为原点,轴,轴,轴建立直角坐标系,

,则……………………………………………………… 5分

  .

易求平面的法向量为…………………………………………… 7分

设平面的法向量为

,由…………… 9分

  ∴…………… 11分

由题知 ∴

所以在上存在点,当是直二面角.…………… 12分

20、解:(1)由,得,两式相减,得,∴,∵是常数,且,故

为不为0的常数,∴是等比数列.

(2)由,且时,,得

,∴是以1为首项,为公差的等差数列,

,故.

(3)由已知,∴

相减得:,∴

递增,∴均成立,∴∴,又,∴最大值为7.

21、(文)解:(Ⅰ)因为

                      

             又  

             因此    

             解方程组得 

         (Ⅱ)因为     

             所以     

             令      

             因为    

                     

             所以     在(-2,0)和(1,+)上是单调递增的;

                           在(-,-2)和(0,1)上是单调递减的.

         (Ⅲ)由(Ⅰ)可知         

            

 

(理)(1)证:令,令

            时,.  ∴

             ∴ 即.

  (2)∵是R上的奇函数  ∴  ∴

       ∴  ∴  故.

       故讨论方程的根的个数.

       即的根的个数.

       令.注意,方程根的个数即交点个数.

        对, ,

        令, 得

         当时,; 当时,.  ∴

         当时,;   当时,, 但此时

,此时以轴为渐近线。

       ①当时,方程无根;

②当时,方程只有一个根.

③当时,方程有两个根.

 (3)由(1)知,   令,

      ∴,于是,

      ∴

         .

22、(文)22.解:(1)在中,

.  (小于的常数)

故动点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线.方程为

(2)方法一:在中,设

假设为等腰直角三角形,则

由②与③得:

由⑤得:

故存在满足题设条件.

方法二:(1)设为等腰直角三角形,依题设可得:

所以

.①

,可设

.②

由①②得.③

根据双曲线定义可得,

平方得:.④

由③④消去可解得,

故存在满足题设条件.

 

 

 

 

(理)解:(1) 

    于是,所求“果圆”方程为

    .                    

(2)由题意,得  ,即

         ,得.  

     又.  .                                             

(3)设“果圆”的方程为

    记平行弦的斜率为

时,直线与半椭圆的交点是

,与半椭圆的交点是

 的中点满足  得 .  

      

    综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 

    当时,以为斜率过的直线与半椭圆的交点是.  

由此,在直线右侧,以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上.   当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

 


同步练习册答案