已知半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求

b

a

的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

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我们把由半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圆”与x，y轴的交点，若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为（　　）

A、 7 2 ，1

B、 3 ，1

C、5，3

D、5，4

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我们把由半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圆”与x，y轴的交点，若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为（　　）

A． 7 2 ，1

B． 3 ，1

C．5，3

D．5，4

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_21.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，.

如图，点、、是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与、轴的交点.

（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

    （2）当时，求的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由.

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一、选择题

1、B（A）   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C（D）  

7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A（C）

二、填空题

13、6          14、           15、31           16、

三、解答题

17、解：⑴由

       由 

       ∴函数的最小正周期T= …………………6分

       ⑵由

       ∴f（x）的单调递减区间是．

       ⑶，∴奇函数的图象左移 即得到的图象，

故函数的图象右移后对应的函数成为奇函数．…………………12分

18、（文）解：（1），又. ∴，.

（2）至少需要3秒钟可同时到达点.

到达点的概率. 到达点的概率.

     故所求的概率.

（理）解：（Ⅰ）的概率分布为

1．2

1．18

1．17

．

由题设得，即的概率分布为

0

1

2

故的概率分布为

1．3

1．25

0．2

所以的数学期望．

（Ⅱ）由

∵，∴．

19、解：（1）取中点，连结，∵是的中点，是的中点.

∴  所以，所以………………………… 2分

又平面，所以平面………………………………………… 4分

（2）分别在两底面内作于，于，连结，易得，以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，

设，则……………………………………………………… 5分

  .

易求平面的法向量为…………………………………………… 7分

设平面的法向量为

，由…………… 9分

取得  ∴…………… 11分

由题知 ∴

所以在上存在点，当时是直二面角.…………… 12分

20、解：（1）由，得，两式相减，得，∴，∵是常数，且，，故

为不为0的常数，∴是等比数列.

（2）由，且时，，得

，∴是以1为首项，为公差的等差数列，

∴，故.

（3）由已知，∴

相减得：，∴，

，递增，∴，对均成立，∴∴，又，∴最大值为7.

21、（文）解：(Ⅰ)因为

             又  

             因此    

             解方程组得 

         (Ⅱ)因为     

             所以     

             令      

             因为    

             所以     在（-2，0）和（1，+）上是单调递增的；

                           在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.

         (Ⅲ)由（Ⅰ）可知         

（理）（1）证：令,令时

            时,.  ∴

             ∴ 即.

  （2）∵是R上的奇函数  ∴  ∴

       ∴  ∴  故.

       故讨论方程在的根的个数.

       即在的根的个数.

       令.注意,方程根的个数即交点个数.

        对, ,

        令, 得，

         当时,; 当时,.  ∴，

         当时,；   当时,， 但此时

，此时以轴为渐近线。

       ①当即时,方程无根;

②当即时,方程只有一个根.

③当即时,方程有两个根.

 （3）由(1)知,   令,

      ∴,于是,

      ∴

         .

22、（文）22．解：（1）在中，．

．  （小于的常数）

故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．方程为．

（2）方法一：在中，设，，，．

假设为等腰直角三角形，则

由②与③得：，

则

由⑤得：，

，

故存在满足题设条件．

方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得：

所以，．

则．①

由，可设，

则，．

则．②

由①②得．③

根据双曲线定义可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在满足题设条件．

（理）解：（1） ，

，

    于是，所求“果圆”方程为

    ，．                    

（2）由题意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

（3）设“果圆”的方程为，．

    记平行弦的斜率为．

当时，直线与半椭圆的交点是

，与半椭圆的交点是．

 的中点满足  得 ．  

     ， ．

    综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 

    当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．  

由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．   当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．