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    什么是数学方法?中学数学有哪些常用的基本数学方法? 答:所谓方法.是指人们为了达到某种目的而采取的手段.途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式．人们通过长期的实践.发现了许多运用数学思想的手段.门路或程序．同一手段.门路或程序被重复运用了多次.并且都达到了预期的目的.就成为数学方法．数学方法是以数学的工具进行科学研究的方法.即用数学语言表达事物的状态.关系和过程.经过推导.运算与分析.以形成解释.判断和预言的方法． 数学方法具有以下三个基本特征:一是高度的抽象性和概括性.二是逻辑的严密性及结论的确定性.三是应用的普遍性和可操作性． 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用:一是提供简洁确定的形式化语言.二是提供数量分析及计算的方法.三是提供逻辑推理的工具．现代科学技术特别是电子计算机的发展.与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成． 在中学数学中经常用到的基本数学方法.大致可以分为以下三类: (1)逻辑学中的方法．例如分析法.综合法.反证法.归纳法.穷举法等．这些方法既要遵重逻辑学中的基本规律和法则.又因为运用于数学之中而具有数学的特色． (2)数学中的一般方法．例如建模法.消元法.降次法.代入法.图象法(也称坐标法.在代数中常称图象法.在学生今后要学习的解析几何中常称坐标法).比较法(数学中主要是指比较大小.这与逻辑学中的多方位比较不同)等．这些方法极为重要.应用也很广泛． (3)数学中的特殊方法．例如配方法.待定系数法.加减法.公式法.换元法.拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想).因式分解诸方法.以及平行移动法.翻折法等．这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用.对于某一类问题也都是一种通法． 2.解不等式时.常用的等价转化有哪些情况? 答:设y1和y2都是x的函数.那么下列各不等式等价: (1) │y1│≤y2(y2≥0)-y2≤y1≤y2. │y1│＞y2(y2≥0)y1＜-y2或y1＞y2, (2) │y1│≤cy12≤c2. │y1│＞cy12＞c2, (3) y1·y2≥0y1≥0且y2≥0.或y1≤0且y2≤0. y1·y2＜0y1＞0且y2＜0.或y1＜0且y2＞0, (4) y1／y2＞0(y2≠0)y1·y2＞0. y1／y2＜0(y2≠0)y1·y2＜0． 3．怎样正确理解逻辑联结词“或 的意义? 答:“或 这个逻辑联结词的用法.一般有两种解释:一是“不可兼有 .即“a或b 是指a.b中的某一个.但不是两者．日常生活中有时采用这一解释．例如“你去或我去 .人们在理解上不会认为有你我都去这种可能．另一是“可兼有 .即“a或b 是指a.b中的任何一个或两者．例如“x∈A或x∈B .是指x可能属于A但不属于B(“但 在这里实际上等价于另一逻辑联结词“且 ).x也可能不属于A但属于B.x还可能既属于A又属于B．又如在“p真或q真 中.可能只有p真.也可能只有q真.还可能p.q都为真．数学书籍中一般采用后一种解释.运用数学语言和解数学选择题时.都要遵守这一点.还要注意“可兼有 并不意味“一定兼有 ． 4． “p或q “p且q “非p 这三个复合命题概念后.怎样进行真假概括? 答:(1)对于复合命题“p或q .当且仅当p.q中至少有一个为真时.它是真命题,当且仅当p.q都为假时.它是假命题 (2)对于复合命题“p且q .当且仅当p.q都为真时.它是真命题,当且仅当p.q中至少有一个为假时.它是假命题． (3)对于复合命题“非p .当且仅当p为真时.它是假命题,当且仅当p为假时.它是真命题． 以上也可以利用真值表示进行概括． 可以看出.要使学生正确理解上述概念.还要让他们熟练掌握并会灵活运用“至少 “最多 “同时 .以及“至少有一个是 “最多有一个是 “不都是 这些词语．这也是学习数学的难点之一.需要长期不懈地进行训练.才能达到要求． 5．怎样理解四种命题?怎样利用反证法来理解四种命题的关系? 答:学生在初中未学过否命题和逆否命题．可以举例来说． 命题甲:如果∠1.∠2是对顶角.那么∠1＝∠2． 命题乙:如果∠1＝∠2.那么∠1.∠2是对顶角． 命题丙:如果∠1.∠2不是对顶角.那么∠1≠∠2． 命题丁:如果∠1≠∠2.那么∠1.∠2不是对顶角． 这里命题甲.乙互为逆命题,命题丙是把命题甲的条件.结论都加以否定后得到的.所以我们把命题丙叫做命题甲的否命题(注意让学生把“否命题 一词与刚学过的逻辑联结词“非 的使用区别开来.“非 通常只否定结论).并且命题甲.丙互为否命题,命题丁是把命题乙的条件.结论都加以否定后得到的.所以命题乙.丁互为否命题.我们把命题丁叫做命题甲的逆否命题．学生经过仔细分析.可以看出:命题丁也可以通过把命题丙的条件.结论颠倒过来而得到.所以命题丙.丁互为逆命题.我们也可以把命题丁叫做命题甲的否逆命题．命题甲的逆否命题和否逆命题相同.我们一般只用“逆否命题 一词． 利用反证法.很容易证明:在四种命题中.原命题与逆否命题同时成立或同时不成立.逆命题与否命题同时成立或同时不成立(可以让学生就上面的例子试一试)． 以上就是所谓“四种命题的关系 ． 6．怎样用推出符号对“充分且不必要条件 “必要且不充分条件 和“充要条件 进行概括? 答:(1)若pq.且p.则p是q的充分且不必要条件.q是p的必要且不充分条件, (2)若qp.且pq.则p是q的必要且不充分条件.q是p的充分且不必要条件, (3)若pq.且qp.则p是q的充要条件, (4)若pq.且┐pq ┐.则p是q的充要条件． 7．怎样让正确判断“充分且不必要条件 “必要且不充分条件 “充要条件 以及“不充分且不必要条件 ? 答:这四种情况反映了条件p和结论q之间的因果关系.所以在判断时应该让学生: (1)确定条件是什么.结论是什么, (2)尝试从条件推导结论.从结论推导条件, (3)确定条件是结论的什么条件． 要证明命题的条件是充要的.就既要证明原命题成立.又要证明它的逆命题成立．证明原命题成立即证明条件的充分性.证明逆命题成立即证明条件的必要性． 8．如何利用已知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性? 答:如果函数f在区间B上具有单调性.那么在B上: +c具有相反的单调性． 当c＞0时具有相同的单调性.当c＜0时具有相反的单调性． 恒不为0时.f具有相反的单调性． 恒为非负时.f具有相反的单调性． 都是增也是增.g函数.则f两者都恒大于0时也是增(减)函数.当两者都恒小于0时是减(增)函数． 9．什么叫做函数的奇偶性? 答:一般地.设有函数f(x).对于其定义域内的任意一个x值.如果都有f是奇函数,如果都有f是偶函数． 如果函数f(x)是奇函数或偶函数.那么称f(x)具有奇偶性． 函数的奇偶性也是函数的整体性质之一．这里指出以下几点． (1)函数的奇偶性是针对函数的定义域讲的．由于任意的x与-x都要在定义域内.所以奇(偶)函数的定义域关于原点对称．我们在判定函数是否具有奇偶性时.应先确定其定义域关于原点是否对称．不对称就没有奇偶性(定义域对称.才能使函数图象关于原点或y轴对称)． (2)既是奇函数又是偶函数的函数.一定有解析式y＝f(x)＝0.但它的定义域可以各色各样.所以不是惟一的．解析式不为f(x)＝0的函数.不可能既是奇函数又是偶函数． 函数还具有以下性质: --两个奇也是奇(偶)函数． --两个函数的积.当其奇偶性相同时为偶函数.当其奇偶性相反时为奇函数． --奇(偶)函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同(反)． --偶函数一般不存在反函数,如果一个奇函数有反函数.那么其反函数也是奇函数． 函数的简单方法:设f(x)是定义域关于原点对称的函数.则 F1) 是偶函数.而 F2) 是奇函数．显然.F1(x)+F2.所以这样的f(x)总可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    材料：采访零向量

    　　W：你好！零向量．我是《数学天地》的一名记者，为了让在校的高中生更好了解你，能不能对你进行一次采访呢？

    　　零向量：当然可以，我们向量王国随时恭候大家的光临，很乐意接受你的采访，让高中生朋友更加了解我，更好地为他们服务．

    　　W：好的，那就开始吧！你的名字有什么特殊的含义吗？

    　　零向量：零向量就是长度为零的向量，它与数字0有着密切的联系，所以用0来表示我．

    　　W：你与其他向量有什么共同之处呢？

    　　零向量：既然我是向量王国的一个成员，就具有向量的基本性质，如既有大小又有方向，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，还定义了与实数的积．

    　　W：你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢？

    　　零向量：首先，我的方向是不定的，可以与任意的向量平行．其次，我还有其他一些向量所没有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的线性运算中，我与实数0很有相似之处．

    　　W：你有如此多的荣耀，那么是否还有烦恼之事呢？

    　　零向量：当然有了，在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意，如平行向量的定义，向量共线定理，两向量夹角的定义都对我进行了限制．所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼，在此我向大家真诚地说一声：对不起，这不是我的错．但我还是很高兴有这次机会与大家见面．

    　　W：OK！采访就到这里吧，非常感谢你的合作，再见！

    　　零向量：Bye！

    阅读上面的材料回答下面问题．

    应用零向量时应注意哪些问题？

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