题目列表(包括答案和解析)
已知是公差为d的等差数列,是公比为q的等比数列
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?请说明理由;
(Ⅱ)若(a、q为常数,且aq0)对任意m存在k,有,试求a、q满足的充要条件;
(Ⅲ)若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项,请证明.
【解析】第一问中,由得,整理后,可得、,为整数不存在、,使等式成立。
(2)中当时,则
即,其中是大于等于的整数
反之当时,其中是大于等于的整数,则,
显然,其中
、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数
(3)中设当为偶数时,式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,式不成立。由式得,整理
当时,符合题意。当,为奇数时,
结合二项式定理得到结论。
解(1)由得,整理后,可得、,为整数不存在、,使等式成立。
(2)当时,则即,其中是大于等于的整数反之当时,其中是大于等于的整数,则,
显然,其中
、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数
(3)设当为偶数时,式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,式不成立。由式得,整理
当时,符合题意。当,为奇数时,
由,得
当为奇数时,此时,一定有和使上式一定成立。当为奇数时,命题都成立
设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().
(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点、、的坐标,从而使得
;
(2)当时,若,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;
解:(1)抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
因为,所以,
故可取满足条件.
(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;,
则,
.
故,,,是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过作
抛物线的准线的垂线,垂足分别为,
由及抛物线的定义得
,即.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标()满足 ”,即:
“当时,若,且点的纵坐标()满足,则”.此命题为真.事实上,设,
分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由,
及抛物线的定义得,即,则
,
又由,所以,故命题为真.
补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:
“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)
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