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    [例1] 如下图.在三棱锥S-ABC中.SA⊥平面ABC.平面SAB⊥平面SBC. (1)求证:AB⊥BC, (2)若设二面角S-BC-A为45°.SA=BC.求二面角A-SC-B的大小. 证明(1):作AH⊥SB于H. ∵平面SAB⊥平面SBC. ∴AH⊥平面SBC. .又SA⊥平面ABC. ∴SA⊥BC.SA∩SB=S. ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AB. 解(2):∵SA⊥平面ABC.∴SA⊥BC. ∴平面SAB⊥BC.∠SBA为二面角S-BC-A的平面角. ∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E.连结EH. 由(1)知AH⊥平面SBC, ∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC.∠AEH为二面角A-SC-B的平面角. AH=a.AC=a.SC=a.AE=a. ∴sin∠AEH=.二面角A-SC-B为60°. [例2] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1.若过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D. (1)确定D的位置.并证明你的结论, (2)证明:平面AB1D⊥平面AA1D, (3)若AB∶AA1=.求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小. 分析:本题结论不定.是“开放性 的.点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线.于是可考虑将BC1沿BA平行移动.BC1取AE1位置.则平面AB1E1一定平行BC1.问题可以解决. (1)解:如下图.将正三棱柱ABC-A1B1C1补成一直平行六面体ABCE-A1B1C1E1.由AE1∥BC1.AE1平面AB1E1.知BC1∥平面AB1E1.故平面AB1E1应为所求平面.此时平面AB1E1交A1C1于点D.由平行四边形对角线互相平行性质知.D为A1C1的中点. (2)证明:连结B1D.则B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1. ∴AA1⊥B1D, 又A1D∩AA1=A1. ∴B1D⊥平面AA1D.又B1D平面AB1D. ∴平面AB1D⊥平面AA1D. (3)解:因为平面AB1D∩平面AA1D=AD.所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F.连结A1F.从三垂线定理知A1F⊥AB1. 故∠A1FH是二面角A1-AB1-D的平面角. 设侧棱AA1=1.侧棱AB=. 于是AB1== . 在Rt△AB1A1中.A1F===. 在Rt△AA1D中.AA1=1.A1D=A1C1=. AD== . ∴A1H==. 在Rt△A1FH中.sin∠A1FH==.∴∠A1FH=45°. 因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350. [例3]在四棱锥P-ABCD中.已知ABCD为矩形.PA ⊥平面ABCD.设PA=AB=1.BC=2.求二面角B-PC-D的大小. 解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E. 过E作EF ⊥PC.交BC于F.连接 FD.则 是所求二面角B-PC-D 的平面角.求解二面角B-PC-D的大小.只需解△DEF即可.所求角为 解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC.过A作AM ⊥BP于M.显然AM ⊥面PBC.从而有AM ⊥PC.同法可得AN ⊥PC.再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN.设面AMN交PC于Q. 则为二面角B-PC-D的平面角, ∠MAN为它的补角.在三角形AMN中可解.计算较繁. 解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC.显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补.转化为求二面角E-PC-D. 易证面PEDA ⊥PDC.过E作EF ⊥ PD 于F.显然PF ⊥面PDC.在面PCE内. 过E作EG ⊥PC于G.连接GF.由三 线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角.只需解△EFG即可. 解析4. 射影面积法.由解析3知.△PFC为△ PEC 在面PDC上的射影.由射影面积公式得 .所求角为 解析5.在面PDC内.分别过D.B作DE ⊥PC于E.BF ⊥PC于F.连接EF即可.利用平面知识求BF.EF.DE的长度.再利用空间余弦定理求出q 即可. ◆思悟提炼:想一想求二面角都用了哪些方法: [例4]由一点S引不共面的三条射线SA.SB.SC.设ÐASB=a.ÐBSC=b.ÐASC=g.其中a.b.g均为锐角.则平面ASB^平面BSC的充要条件是cosa×cosb=cosg． 证明:必要性．如图(1), 过点A作AD^SB于D. ∵平面ASB^平面BSC, ∴AD^平面BSC． 过D作DE^SC于E.连AE.则AE^SC． 在Rt△ADS中.cosa=, 在Rt△DES中.cosb=, 例3． 在Rt△AES中.cosg=.由此可得 cosa×cosb=×==cosg． 必要性得证． 充分性．如图2.过点A作AA1^SB于A1.过点A1作A1C1^SC于C1. 在Rt△AA1S中.cosa=, 在Rt△A1C1S中.cosb=; ∵cosg=cosa×cosb=×=, ∴SC1=SA×cosg． 过A作AC1¢^SC.垂足为C1¢.在Rt△AC1¢S中.SC1¢=SA×cosg． 由此得SC1¢=SC1.即C1¢与C1重合.故SC^AC1． 而SC^A1C1.且AC1IA1C1=C1. ∴SC^平面AA1C1.∴SC^AA1． 又∵SB^AA1.SBISC=S. ∴AA1^平面BSC.而AA1Ì平面ASB. ∴平面ASB^平面BSC．充分性得证． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如下图，在三棱锥S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求以BD为棱，以△BDE与△BDC为面的二面角的大小．

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    如下图，在三棱锥S－ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，△ABC是等腰直角三角形，其中AC＝CB＝2a，O是AC的中点．

    (Ⅰ)求证：SO⊥AB；

    (Ⅱ)求二面角B－SA－C的大小的正切值．

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    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
    		3
    ．

    （Ⅰ）求证SA⊥SC；
    （Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=
    2S
    l
    （其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
    ①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教网C．
    ②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
    得S=
    1
    2
    ar+
    1
    2
    br+
    1
    2
    cr    =
    1
    2
    lr    ，则r=
    2S
    l
    ．
    类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．

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