题目列表(包括答案和解析)
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,X轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C1的参数方程为:(为参数);射线C2的极坐标方程为:,且射线C2与曲线C1的交点的横坐标为
(I )求曲线C1的普通方程;
(II)设A、B为曲线C1与y轴的两个交点,M为曲线C1上不同于A、B的任意一点,若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点,求证|OP|.|OQ|为定值.
在复平面内, 是原点,向量对应的复数是,=2+i。
(Ⅰ)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量对应的复数和;
(Ⅱ)复数,对应的点C,D。试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上?并证明你的结论。
【解析】第一问中利用复数的概念可知得到由题意得,A(2,1) ∴B(2,-1) ∴ =(0,-2) ∴=-2i ∵ (2+i)(-2i)=2-4i, ∴ =
第二问中,由题意得,=(2,1) ∴
同理,所以A、B、C、D四点到原点O的距离相等,
∴A、B、C、D四点在以O为圆心,为半径的圆上
(Ⅰ)由题意得,A(2,1) ∴B(2,-1) ∴ =(0,-2) ∴=-2i 3分
∵ (2+i)(-2i)=2-4i, ∴ = 2分
(Ⅱ)A、B、C、D四点在同一个圆上。 2分
证明:由题意得,=(2,1) ∴
同理,所以A、B、C、D四点到原点O的距离相等,
∴A、B、C、D四点在以O为圆心,为半径的圆上
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
11.5 12. 13. 14.7 15.
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
16.解:(I)由三角函数的定义可知
又为正三角形,
(Ⅱ)
圆的面积为。
该点落在内的概率
17.解:(I)依题意,每个月更新的车辆数构成一个首项为,公差为的等差数列,设第
个月更新的车辆数为,则
该市的出租车总数(辆)
(Ⅱ)依题意,每个月更新的车辆数构成一个首项为,公比为1.1的等比数列,则第
个月更新的车辆数,设至少需要个月才能更新完毕,
个月更新的车辆总数,
即,由参数数据可得
故以此速度进行更新,至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车
18.解(I),为等腰直角三角形,
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则
设平面的一个法向量为,
则有 得
平面的一个法向量
而的一个法向量
平面与平面所成的角的余弦值
(Ⅲ),
设平面的法向量为,则有
平面的一个法向量为
若要使得面,则要,即
解得, 当时, 面
19.解法一:
(I)设椭圆方程为,由题意知
故椭圆方程为
(Ⅱ)由(I)得,所以,设的方程为()
代入,得
设则
由,
当时,有成立。
(Ⅲ)在轴上存在定点,使得、、三点共线。
依题意知,直线BC的方程为,
令,则
的方程为、在直线上,
在轴上存在定点,使得、、三点共线。
解法二:(I)同解法一。
(Ⅱ)由(I)得,所以。
设的方程为
代入,得
设则
当时,有成立。
(Ⅲ)在轴上存在定点,使得、、三点共线。
设存在使得、、三点共线,则,
,
即
,。
所以,存在,使得、、三点共线。
20.解:(I)
当时,
由或。
x
(0,1)
1
+
―
单调递增
极大值
单调递减
时,,无极小值。
(Ⅱ)存在单调递减区间,
在内有解,即在内有解。
若,则,在单调递增,不存在单调递减区间;
若,则函数的图象是开口向上的抛物线,且恒过点(0,1),要
使在内有解,则应有
或,由于,;
若,则函数的图象是开口向下的抛物线,且恒过点(0,1),
在内一定有解。
综上,或。
(Ⅲ)依题意:,假设结论不成立,
则有
①―②,得
由③得,
即
设,则,
令
,在(0,1)上为增函数。
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