题目列表(包括答案和解析)
如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知,,,.
(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;
(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点,,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;
(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点、,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
图4
(本小题满分13分)
已知,在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图所示的几何体.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)当时,直线与平面所成的角的正弦值为,求的长度;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,设旋转过程中,平面与平面所成的角为,长方体的最高点离平面的距离为,请直接写出的一个表达式,并注明定义域.
(本小题满分13分)
已知,在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图所示的几何体.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)当时,直线与平面所成的角的正弦值为,求的长度;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,设旋转过程中,平面与平面所成的角为,长方体的最高点离平面的距离为,请直接写出的一个表达式,并注明定义域.
(本小题满分13分)
已知,在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图所示的几何体.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)当时,直线与平面所成的角的正弦值为,求的长度;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,设旋转过程中,平面与平面所成的角为,长方体的最高点离平面的距离为,请直接写出的一个表达式,并注明定义域.
一、DDBCD CABCA
二、11.1; 12.; 13. 14.; 15.;
16.
三.解答题(本大题共6小题,共76分)
17.解:(1)法一:由题可得;
法二:由题,
故,从而;
法三:由题,解得,
故,从而。
(2),令,
则,
在单调递减,
故,
从而的值域为。
18.解:(1)的可能取值为0,1,2,3,4,,
,
,,。
因此随机变量的分布列为下表所示;
0
1
2
3
4
(2)由⑴得:,
19.法一:(1)连接,设,则。
因为,所以,故,从而,
故。
又因为,
所以,当且仅当取等号。
此时为边的中点,为边的中点。
故当为边的中点时,的长度最小,其值为
(2)连接,因为此时分别为的中点,
故,所以均为直角三角形,
从而,所以即为直线与平面所成的角。
因为,所以即为所求;
(3)因,又,所以。
又,故三棱锥的表面积为
。
因为三棱锥的体积,
所以。
法二:(1)因,故。
设,则。
所以,
当且仅当取等号。此时为边的中点。
故当为的中点时,的长度最小,其值为;
(2)因,又,所以。
记点到平面的距离为,
因,故,解得。
因,故;
(3)同“法一”。
法三:(1)如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,则,
所以,当且仅当取等号。
此时为边的中点,为边的中点。
故当为边的中点时,的长度最小,其值为;
(2)设为面的法向量,因,
故。取,得。
又因,故。
因此,从而,
所以;
(3)由题意可设为三棱锥的内切球球心,
则,可得。
与(2)同法可得平面的一个法向量,
又,故,
解得。显然,故。
20.解:(1)当时,。令得,
故当 时,单调递增;
当时,单调递减。
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为;
(2)法一:因,故。
令,
要使对满足的一切成立,则,
解得;
法二:,故。
由可解得。
因为在单调递减,因此在单调递增,故。设,
则,因为,
所以,从而在单调递减,
故。因此,即。
(3)因为,所以
即对一切恒成立。
,令,
则。因为,所以,
故在单调递增,有。
因此,从而。
所以。
21.解:(1)设,则由题,
由得,故。
又根据可得,
即,代入可得,
解得(舍负)。故的方程为;
(2)法一:设,代入得,
故,
从而
因此。
法二:显然点是抛物线的焦点,点是其准线上一点。
设为的中点,过分别作的垂线,垂足分别为,
则。
因此以为直径的圆与准线相切(于点)。
若与重合,则。否则点在外,因此。
综上知。
22.证明:(1)因,故。
显然,因此数列是以为首项,以2为公比的等比数列;
(2)由⑴知,解得;
(3)因为
所以。
又(当且仅当时取等号),
故。
综上可得。(亦可用数学归纳法)
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