题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分.其中(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分)
已知,数列{an}满足:,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)判断an与an+1的大小,并说明理由.
(本小题满分12分.其中(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分)
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E、F分别为棱BC、AD的中点.
(Ⅰ)若PD=1,求异面直线PB和DE所成角的余弦值;
(Ⅱ)若二面角P-BF-C的余弦值为,求四棱锥P-ABCD的体积
(本小题满分12分)
道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q<80时,为酒后驾车;当Q≥80时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量,其中查处酒后驾车的有6人,查处醉酒驾车的有2人,依据上述材料回答下列问题:
(Ⅰ)分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数;
(Ⅱ)从违法驾车的8人中抽取2人,求取到醉酒驾车人数的分布列和期望。
(Ⅲ)饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故,假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25,且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率(列式)。
(本小题满分12分)
有编号为,,…的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品。
(Ⅰ)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取2个.
(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
(ⅱ)求这2个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12分
【解析】(Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有6个.设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件A,则P(A)==.
(Ⅱ)(i)解:一等品零件的编号为.从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有:,,,
,,,共有15种.
(ii)解:“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有:,,共有6种.
所以P(B)=.
(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.
(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF;
(本小题满分12分)
有编号为,,…的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品。
(Ⅰ)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取2个.
(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
(ⅱ)求这2个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12分
【解析】(Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有6个.设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件A,则P(A)==.
(Ⅱ)(i)解:一等品零件的编号为.从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有:,,,
,,,共有15种.
(ii)解:“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有:,,共有6种.
所以P(B)=.
(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.
(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF;
一、DDBCD CABCA
二、11.1; 12.; 13. 14.; 15.;
16.
三.解答题(本大题共6小题,共76分)
17.解:(1)法一:由题可得;
法二:由题,
故,从而;
法三:由题,解得,
故,从而。
(2),令,
则,
在单调递减,
故,
从而的值域为。
18.解:(1)的可能取值为0,1,2,3,4,,
,
,,。
因此随机变量的分布列为下表所示;
0
1
2
3
4
(2)由⑴得:,
19.法一:(1)连接,设,则。
因为,所以,故,从而,
故。
又因为,
所以,当且仅当取等号。
此时为边的中点,为边的中点。
故当为边的中点时,的长度最小,其值为
(2)连接,因为此时分别为的中点,
故,所以均为直角三角形,
从而,所以即为直线与平面所成的角。
因为,所以即为所求;
(3)因,又,所以。
又,故三棱锥的表面积为
。
因为三棱锥的体积,
所以。
法二:(1)因,故。
设,则。
所以,
当且仅当取等号。此时为边的中点。
故当为的中点时,的长度最小,其值为;
(2)因,又,所以。
记点到平面的距离为,
因,故,解得。
因,故;
(3)同“法一”。
法三:(1)如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,则,
所以,当且仅当取等号。
此时为边的中点,为边的中点。
故当为边的中点时,的长度最小,其值为;
(2)设为面的法向量,因,
故。取,得。
又因,故。
因此,从而,
所以;
(3)由题意可设为三棱锥的内切球球心,
则,可得。
与(2)同法可得平面的一个法向量,
又,故,
解得。显然,故。
20.解:(1)当时,。令得,
故当 时,单调递增;
当时,单调递减。
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为;
(2)法一:因,故。
令,
要使对满足的一切成立,则,
解得;
法二:,故。
由可解得。
因为在单调递减,因此在单调递增,故。设,
则,因为,
所以,从而在单调递减,
故。因此,即。
(3)因为,所以
即对一切恒成立。
,令,
则。因为,所以,
故在单调递增,有。
因此,从而。
所以。
21.解:(1)设,则由题,
由得,故。
又根据可得,
即,代入可得,
解得(舍负)。故的方程为;
(2)法一:设,代入得,
故,
从而
因此。
法二:显然点是抛物线的焦点,点是其准线上一点。
设为的中点,过分别作的垂线,垂足分别为,
则。
因此以为直径的圆与准线相切(于点)。
若与重合,则。否则点在外,因此。
综上知。
22.证明:(1)因,故。
显然,因此数列是以为首项,以2为公比的等比数列;
(2)由⑴知,解得;
(3)因为
所以。
又(当且仅当时取等号),
故。
综上可得。(亦可用数学归纳法)
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