题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且,
;(1)求数列的通项公式
(2)设数列满足:,且,求证:(3)若(2)问中数列 满足 ,
求证: (其中为自然对数的底数)。
(本小题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
|
喜爱打篮球 |
不喜爱打篮球 |
合计 |
男生 |
|
5 |
|
女生 |
10 |
|
[来源:学|科|网] |
合计 |
|
|
50[] |
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
(1)请将上面的列联表补充完整
(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;
(3)已知喜爱打篮球的10位女生中,还喜欢打羽毛球,
还喜欢打乒乓球,还喜欢踢足球,现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、
喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查,求和不全被选
中的概率.
下面的临界值表供参考:
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
(本小题满分12分)某校高一(2)班共有60名同学参加期末考试,现将其数学学科成绩(均为整数)分成六个分数段,画出如下图所示的部分频率分布直方图,请观察图形信息,回答下列问题:
(1)求70~80分数段的学生人数;
(2)估计这次考试中该学科的优分率(80分及以上为优分)
(3)现根据本次考试分数分成下列六段(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组)为提高本班数学整体成绩,决定组与组之间进行帮扶学习.若选出的两组分数之差大于30分(以分数段为依据,不以具体学生分数为依据),则称这两组为“最佳组合”,试求选出的两组为“最佳组合”的概率.[来源:学#科#网]
(本小题满分12分)
道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q<80时,为酒后驾车;当Q≥80时,为醉酒驾车. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量,其中查处酒后驾车的有6人,查处醉酒驾车的有2人,依据上述材料回答下列问题:
(1)分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数;
(2)从违法驾车的8人中抽取2人,求取到醉酒驾车人数的分布列和期望,并指出所求期望的实际意义;
(3)饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故,假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25,且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率。(精确到0.01)并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议.
(本小题满分12分)
2011年4月28日,世界园艺博览会已在西安正式开园,正式开园前,主办方安排了4次试运行,为了解前期准备情况和试运行中出现的问题,以做改进,组委会组织了一次座谈会,共邀请20名代表参加,他们分别是游客15人,志愿者5人。
(I)从这20名代表中随机选出3名谈建议,求至少有1人是志愿者的概率;
(II)若随机选出2名代表发言,表示其游客人数,求的分布列和数学期望。
一、DDBCD CABCA
二、11.1; 12.; 13. 14.; 15.;
16.
三.解答题(本大题共6小题,共76分)
17.解:(1)法一:由题可得;
法二:由题,
故,从而;
法三:由题,解得,
故,从而。
(2),令,
则,
在单调递减,
故,
从而的值域为。
18.解:(1)的可能取值为0,1,2,3,4,,
,
,,。
因此随机变量的分布列为下表所示;
0
1
2
3
4
(2)由⑴得:,
19.法一:(1)连接,设,则。
因为,所以,故,从而,
故。
又因为,
所以,当且仅当取等号。
此时为边的中点,为边的中点。
故当为边的中点时,的长度最小,其值为
(2)连接,因为此时分别为的中点,
故,所以均为直角三角形,
从而,所以即为直线与平面所成的角。
因为,所以即为所求;
(3)因,又,所以。
又,故三棱锥的表面积为
。
因为三棱锥的体积,
所以。
法二:(1)因,故。
设,则。
所以,
当且仅当取等号。此时为边的中点。
故当为的中点时,的长度最小,其值为;
(2)因,又,所以。
记点到平面的距离为,
因,故,解得。
因,故;
(3)同“法一”。
法三:(1)如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,则,
所以,当且仅当取等号。
此时为边的中点,为边的中点。
故当为边的中点时,的长度最小,其值为;
(2)设为面的法向量,因,
故。取,得。
又因,故。
因此,从而,
所以;
(3)由题意可设为三棱锥的内切球球心,
则,可得。
与(2)同法可得平面的一个法向量,
又,故,
解得。显然,故。
20.解:(1)当时,。令得,
故当 时,单调递增;
当时,单调递减。
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为;
(2)法一:因,故。
令,
要使对满足的一切成立,则,
解得;
法二:,故。
由可解得。
因为在单调递减,因此在单调递增,故。设,
则,因为,
所以,从而在单调递减,
故。因此,即。
(3)因为,所以
即对一切恒成立。
,令,
则。因为,所以,
故在单调递增,有。
因此,从而。
所以。
21.解:(1)设,则由题,
由得,故。
又根据可得,
即,代入可得,
解得(舍负)。故的方程为;
(2)法一:设,代入得,
故,
从而
因此。
法二:显然点是抛物线的焦点,点是其准线上一点。
设为的中点,过分别作的垂线,垂足分别为,
则。
因此以为直径的圆与准线相切(于点)。
若与重合,则。否则点在外,因此。
综上知。
22.证明:(1)因,故。
显然,因此数列是以为首项,以2为公比的等比数列;
(2)由⑴知,解得;
(3)因为
所以。
又(当且仅当时取等号),
故。
综上可得。(亦可用数学归纳法)
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