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（满分12分）设底面边长为的正四棱柱中，与平面 所成角为；点是棱上一点．

（1）求证：正四棱柱是正方体；
（2）若点在棱上滑动，求点到平面距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的大小．

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如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）设二面角M-BP-C的大小为θ，求cosθ的值．

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一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）A       （2）B        （3）B      （4）A    （5）D       （6）D 

（7）C       （8）C        （9）A     （10）C    （11）A      （12）B

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）        （14）2          （15）       （16）44

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

（Ⅰ）解法一：由正弦定理得.

故      ，

_{又      ，}

_{故      ，}

_{即      ，}

_{故      .}

_{因为    ，}

_{故      ，}

      又      为三角形的内角，

所以    .                    ………………………5分

解法二：由余弦定理得  .

      将上式代入    整理得．

      故      ，  

又      为三角形内角，

所以    ．                    ………………………5分

（Ⅱ）解：因为．

故      ，

由已知  得

又因为  .

得      ，

所以    ，

解得    .    ………………………………………………10分

（18）（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：

             ∵面，面，

             ∴．

             又∵底面是正方形，

       ∴．

             又∵，

       ∴面，

       又∵面，

       ∴平面平面．    ………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系．

设，则，在中，.

∴、、、、、．

∵为的中点，，

∴．

        设是平面的一个法向量．

则由 可求得.

由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，

且，

∴，即.

∴二面角的大小为． ………………………………………12分

  解法二：

         设，则，

在中，.

设，连接，过作于，

连结，由（Ⅰ）知面.

∴在面上的射影为，

∴．

故为二面角的平面角.

在中，，，．

∴，

∴.

∴.

即二面角的大小为． …………………………………12分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设取到的4个球全是白球的概率，

则．          …………………………………6分

（Ⅱ）设取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率，

则． ………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）设等比数列的首项为，公比为，

依题意，有，

代入， 得．

∴．               …………………………………2分

∴解之得或  …………………6分

∴或．              …………………………………8分

（II）又单调递减，∴．   …………………………………9分

则． …………………………………10分

∴，即，，

．

故使成立的正整数n的最小值为8．………………………12分

（21）（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：设双曲线方程为，，

由，及勾股定理得，

由双曲线定义得 ．

则．               ………………………………………5分

（Ⅱ），，双曲线的两渐近线方程为．

由题意，设的方程为，与轴的交点为．

若与交于点，与交于点，

由得；由得，

，

，

则，

故双曲线方程为．         ………………………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），

．

又因为函数在上为增函数，

  在上恒成立，等价于

  在上恒成立.

又，

故当且仅当时取等号，而，

  的最小值为．         ………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得：函数为奇函数，

  ， ，  ………………………………7分

.

切点为，其中，

则切线的方程为：   ……………………8分

由，

得.

又，

，

，

，

或，由题意知，

从而.

，

，

.                    ………………………………………12分

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