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某项实验研究需要一种高标准的产品，对这种产品要检测A、B两项技术指标，各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为，按要求只有两项技术指标都达标的产品才能用于该实验（称为合格品），
（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为p₁、p₂，求一件产品经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若进行该项实验需要这种产品100个，为保证实验的顺利进行，则至少要购进多少件这样的产品？

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一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）B       （2）A        （3）B      （4）A     （5）C       （6）D

（7）A       （8）C        （9）B      （10）A    （11）D      （12）B

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）      （14）      （15）     

（16）

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

（Ⅰ）解法一：由正弦定理得.

故      ，

_{又      ，}

_{故      ，}

_{即      ，}

_{故      .}

_{因为    ，}

_{故      ，}

      又      为三角形的内角，

所以    .                    ………………………5分

解法二：由余弦定理得  .

      将上式代入    整理得．

      故      ，  

又      为三角形内角，

所以    ．                    ………………………5分

（Ⅱ）解：因为．

故      ，

由已知  得

又因为  .

得      ，

所以    ，

解得    .    ………………………………………………10分

（18）（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：

             ∵面，面，

             ∴．

             又∵底面是正方形，

       ∴．

             又∵，

       ∴面，

       又∵面，

       ∴平面平面．    ………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系．

设，则，在中，.

∴、、、、、．

∵为的中点，，

∴．

        设是平面的一个法向量．

则由 可求得.

由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，

且，

∴，即.

∴二面角的大小为． ………………………………………12分

  解法二：

         设，则，

在中，.

设，连接，过作于，

连结，由（Ⅰ）知面.

∴在面上的射影为，

∴．

故为二面角的平面角.

在中，，，．

∴，

∴.

∴.

即二面角的大小为． …………………………………12分

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：设、两项技术指标达标的概率分别为、_．

由题意得：               …………2分

∴．

即一个零件经过检测为合格品的概率为.             …………6分

（Ⅱ）设该工人一个月生产的20件新产品中合格品有件，获得奖金元，则

．        ………………8分

～，,               ………………10分

．

即该工人一个月获得奖金的数学期望是800元．      ………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设双曲线方程为，，

由，及勾股定理得，

由双曲线定义得 ．

则．                ………………………………………5分

（Ⅱ），，故双曲线的两渐近线方程为．

因为过， 且与同向，故设的方程为，

则

又的面积，所以．

可得与轴的交点为．

设与交于点，与交于点，

由得；由得．

故，

，，

从而．

故的取值范围是.  …………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），

．

又因为函数在上为增函数，

  在上恒成立，等价于

  在上恒成立.

又，

故当且仅当时取等号，而，

  的最小值为．         ………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得：函数为奇函数，

  ， ，  ………………………………7分

.

切点为，其中，

则切线的方程为：   ……………………8分

由，

得.

又，

，

，

，

或，由题意知，

从而.

，

，

.                    ………………………………………12分

（22）（本小题满分12分）

（Ⅰ）解: 由，得

，.               …………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得， ………………………4分

用数学归纳法证明:

①当时，成立.

②假设时，成立，

那么

所以当时，等式也成立.

由①、②得对一切成立.  ……………8分

（Ⅲ）证明: 设，则，

所以在上是增函数．

故．

即．

因为，

故．

=.…………12分

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