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    ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式. 分析一:利用前节的方法求解, 分析二:由乘法运算的符号法则可知.若原不等式成立.则左边两个因式必须异号.∴原不等式的解集是下面两个不等式组:与的解集的并集.即{x|}∪}=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式: 解二:∵<0或 x∈φ或-4<x<1-4<x<1. ∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小结: 一元二次不等式的代数解法:设一元二次不等式相应的方程 的两根为. 则, ①若 当时.得或,当时.得. ②若 当时.得,当时.得. 分析三:由于不等式的解与相应方程的根有关系.因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解:①求根:令=0.解得x分别为-4.1.这两根将x轴分为三部分:(-.-4)(1.+), ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 (-.-4) (1.+) x+4 - + + x-1 - - + + - + ③由上表可知.原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例2:解不等式:>0, 解:①检查各因式中x的符号均正, ②求得相应方程的根为:-2.1.3, ③列表如下: -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知.原不等式的解集为:{x|-2<x<1或x>3}. 小结:此法叫列表法.解题步骤是: ①将不等式化为>0形式.令=0.求出各根.不妨称之为分界点.一个分界点把数轴分成两部分.n个分界点把数轴分成n+1部分--, ②按各根把实数分成的n+1部分.由小到大横向排列.相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列), ③计算各区间内各因式的符号.下面是乘积的符号, ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x>0. {x|-1<x<0或2<x<3}. 思考:由函数.方程.不等式的关系.能否作出函数图像求解 直接写出解集:{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3} 在没有技术的情况下: 可大致画出函数图形求解.称之为根轴法 ①将不等式化为>0形式.并将各因式x的系数化“+ , ②求根.并在数轴上表示出来, ③由右上方穿线.经过数轴上表示各根的点, ④若不等式是“>0 ,则找“线 在x轴上方的区间,若不等式是“<0 ,则找“线 在x轴下方的区间. 注意:奇过偶不过 例3 解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①检查各因式中x的符号均正, ②求得相应方程的根为:-1.2.3(注意:2是二重根.3是三重根), ③在数轴上表示各根并穿线.每个根穿一次(自右上方开始奇过偶不过).如下图: ④∴原不等式的解集为:{x|-1<x<2或2<x<3}. 说明:∵3是三重根.∴在C处过三次.2是二重根.∴在B处过两次.结果相当于没过.由此看出.当左侧fn时.n为奇数时.曲线在x1点处穿过数轴,n为偶数时.曲线在x1点处不穿过数轴.不妨归纳为“奇过偶不过 . 练习:解不等式:0. 解:①将原不等式化为:20, ②求得相应方程的根为:-2.-1.3, ③在数轴上表示各根并穿线.如图: ④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}. 说明:注意不等式若带“= 号.点画为实心.解集边界处应有等号,另外.线虽不穿过-2点.但x=-2满足“= 的条件.不能漏掉. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式:. 错解:去分母得 ∴原不等式的解集是. 解法1:化为两个不等式组来解: ∵x∈φ或. ∴原不等式的解集是. 解法2:化为二次不等式来解: ∵. ∴原不等式的解集是 说明:若本题带“= .即0.则不等式解集中应注意x-7的条件.解集应是{x| -7<x3}. 小结:由不等式的性质易知:不等式两边同乘以正数.不等号方向不变,不等式两边同乘以负数.不等号方向要变,分母中有未知数x.不等式两边同乘以一个含x的式子.它的正负不知.不等号方向无法确定.无从解起.若讨论分母的正负.再解也可以.但太复杂.因此.解分式不等式.切忌去分母. 解法是:移项.通分.右边化为0.左边化为的形式. 例5 解不等式:. 解法1:化为不等式组来解较繁. 解法2:∵ . ∴原不等式的解集为{x| -1<x1或2x<3}. 也可以直接用根轴法求解: 练习:1.课本P21练习:3⑴⑵,2.解不等式. 答案:1.⑴{x|-5<x<8},⑵{x|x<-4,或x>-1/2},2.{x|-13<x<-5}. 2解不等式:.(答:{x|x0或1<x<2}) 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    研究、体会一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的密切联系。

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    下列几个命题：
    ①函数y=
    		x2-1
    +
    		1-x2
    是偶函数，但不是奇函数；
    ②“
    a＞0
    △=b2-4ax≤0
    ”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；
    ③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称；
    ④若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=
    π
    2
    +kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），则y=sinx+
    2
    sinx
    的最小值为2
    		2
    ．
    其中正确的有
    ②④
    ②④
    ．

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    以函数观点来看，一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)在x轴上方的点的　　　　的集合，而一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根就是相应的二次函数与x轴交点的　　　　.因此，一般而言，要解一元二次不等式，只要先解相应的一元二次方程即可.

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    一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系分类列表如下:

    约定:Δ=b2-4ac,a≠0,x1＜x2.?

    Δ的符号

    a的符号

     

    ax2+bx+c＞0

    ax2+bx+c＜0

    解　集

    图　象

    解　集

    图　象

    Δ＜0

     

    a＞0

     

     

     

     

    a＜0

     

     

     

     

    Δ=0

     

    a＞0

     

     

     

     

    a＜0

     

     

     

     

    Δ＞0

     

    a＞0

     

     

     

     

    a＜0

     

     

     

     

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    已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
    （1）当a=1，c=
    12
    时，求出不等式f（x）＜0的解；
    （2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
    （3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
    （4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

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