已知向量（），向量，，

且.

（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。

（1）问中∵，∴，…………………1分

∵，得到三角关系是，结合，解得。

（2）由，解得，，结合二倍角公式，和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。

解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

∵，∴，即   ①  …………2分

又 ②   由①②联立方程解得，，5分

∴     ……………6分

（Ⅱ）∵即，，  …………7分

∴，               ………8分

又∵，          ………9分

，            ……10分

∴．

解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

又，∴，即，①……2分

又    ②

将①代入②中，可得   ③    …………………4分

将③代入①中，得……………………………………5分

∴   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

∴，从而.      …………………8分

由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

∴.     ………………………………10分

又∵，∴， 又，∴    ……11分

综上可得  ………………………………12分

方法二∵,，∴，且…………7分

∴.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知， .                …………9分

∴             ……………10分

∵，且注意到，

∴，又，∴   ………………………11分

综上可得                    …………………12分

（若用，又∵ ∴ ，

（（本小题满分12分）
由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.
对于，我们有



可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.
（I）求证：；
（II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；
(III)利用结论，求出的值.

（（本小题满分12分）

由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.

对于，我们有

可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.

（I）求证：；

（II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；

(III)利用结论，求出的值.