题目列表(包括答案和解析)
已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆C;其长轴长等于4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中,可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
第二问中,
假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范围。
(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
则.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是
有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心曲线的中心的弦叫作有心曲线的直径(为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在).定理:过圆x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为-1,写出该定理在椭圆+=1(a>b>0)中的推广(不必证明)________.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
b2 |
a2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
b2 |
a2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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