题目列表(包括答案和解析)
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n):
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1) 对如下数表A,求K(A)的值;
1 |
1 |
-0.8 |
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)设数表A∈S(2,3)形如
1 |
1 |
c |
a |
b |
-1 |
求K(A)的最大值;
(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。
【解析】(1)因为,
所以
(2) 不妨设.由题意得.又因为,所以,
于是,,
所以,当,且时,取得最大值1。
(3)对于给定的正整数t,任给数表如下,
… |
|||
… |
任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每一个数换成它的相反数,所得数表
,并且,因此,不妨设,
且。
由得定义知,,
又因为
所以
所以,
对数表:
1 |
1 |
… |
1 |
… |
||
… |
-1 |
… |
-1 |
则且,
综上,对于所有的,的最大值为
设A是如下形式的2行3列的数表,
a |
b |
c |
d |
e |
f |
满足性质P:a,b,c,d,e,f,且a+b+c+d+e+f=0
记为A的第i行各数之和(i=1,2), 为A的第j列各数之和(j=1,2,3)记为中的最小值。
(1)对如下表A,求的值
1 |
1 |
-0.8 |
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)设数表A形如
1 |
1 |
-1-2d |
d |
d |
-1 |
其中,求的最大值
(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A,求的最大值。
【解析】(1)因为,,所以
(2),
因为,所以,
所以
当d=0时,取得最大值1
(3)任给满足性质P的数表A(如图所示)
a |
b |
c |
d |
e |
f |
任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表仍满足性质P,并且,因此,不妨设,,
由得定义知,,,,
从而
所以,,由(2)知,存在满足性质P的数表A使,故的最大值为1
【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
1 |
x |
2x2+3 |
x2+1 |
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