15．已知数列{an}中.前n项和为Sn.点(an+1.Sn+1)在直线y＝4x-2上.其中n＝1,2,3-. (1)设bn＝an+1-2an.且a1＝1.求证数列{bn}是等比数列, (2)令f(x)＝b1x+b2x2+-+bnxn.求函数f(x)在点x＝1处的导数f′(1)并比较f′(1)与6n2-3n的大小．解:(1)由已知点(an+1.Sn+1)在直线y＝4x-2上. ∴Sn+1＝4(an+1)-2. 即Sn+1＝4an+2.(n＝1,2,3.-) ∴Sn+2＝4an+1+2. 两式相减.得Sn+2-Sn+1＝4an+1-4an. 即an+2＝4an+1-4an. an+2-2an+1＝2(an+1-2an)． ∵bn＝an+1-2an.(n＝1,2,3.-) ∴bn+1＝2bn. 由S2＝a1+a2＝4a1+2.a1＝1. 解得a2＝5.b1＝a2-2a1＝3. ∴数列{bn}是首项为3.公比为2的等比数列．知bn＝3·2n-1. ∵f(x)＝b1x+b2x2+--+bnxn ∴f′(x)＝b1+2b2x+-+nbnxn-1. 从而f′(1)＝b1+2b2+-+nbn ＝3+2·3·2+3·3·22+-+n·3·2n-1 ＝3(1+2·2+3·22+-+n·2n-1) 设Tn＝1+2·2+3·22+-+n·2n-1. 设2Tn＝2+2·22+3·23+-+(n-1)·2n-1+n·2n. 两式相减.得-Tn＝1+2+22+23+-+2n-1-n·2n＝-n·2n. ∵Tn＝(n-1)·2n+1. ∴f′(1)＝3(n-1)·2n+3. 由于f′(1)-(6n2-3n)＝3[(n-1)·2n+1-2n2+n]＝3(n-1)[2n-(2n+1)]．设g(n)＝f′(1)-(6n2-3n)．当n＝1时.g(1)＝0.∴f′(1)＝6n2-3n, 当n＝2时.g(2)＝-3<0.∴f′(1)<6n2-3n, 当n≥3时.n-1>0.又2n＝(1+1)n＝C+C+-+C+C≥2n+2>2n+1. ∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0.即g(n)>0. 从而f′(1)>6n2-3n. 【查看更多】

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n²-3n的大小．

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与
6n²-3n的大小．

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已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n²-3n的大小．

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已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n²-3n的大小．

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已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点(a_n＋1，S_n+1)在直线y＝4x－2上，其中n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)设b_n＝a_n+1－2a_n，且a₁＝1，求证数列{b_n}是等比数列；

(Ⅱ)令f(x)＝b₁x＋b₂x²＋…＋b_nxⁿ，求函数f(x)在点x＝1处的导数并比较与6n²－3n的大小．

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