已知:正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a． (1) 求证:平面A1BD∥平面B1D1C, (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离． 证明:(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. ∵ BB1平行且等于DD1. ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形. ∴ BD∥B1D1. ∴ BD∥平面B1D1C． 同理 A1B∥平面B1D1C. 又A1B∩BD=B. ∴ 平面A1BD∥平面B1D1C 解:(2) 连AC1交平面A1BD于M.交平面B1D1C于N． AC是AC1在平面AC上的射影.又AC⊥BD. ∴ AC1⊥BD. 同理可证.AC1⊥A1B. ∴ AC1⊥平面A1BD.即MN⊥平面A1BD. 同理可证MN⊥平面B1D1C． ∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离. 设AC.BD交于E.则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E． ∵ M∈平面A1BD.M∈AC1平面A1C. ∴ M∈A1E． 同理N∈CF． 在矩形AA1C1C中.见图9-21(2).由平面几何知识得 . ∴ ． 评述:当空间图形较为复杂时.可以分解图形.把其中的平面图形折出分析.利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行.主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线.或者使用反证法． 【
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