如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为棱CC1的中点.AC交BD于点O.求证:A1O⊥平面MBD． 解析:要证A1O⊥平面MBD.只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直.首先想到DB.先观察 A1O垂直DB吗? 方法1:发现A1O平分DB.想到什么?(△A1DB是否为等腰三角形) ∵A1D＝A1B.DO＝OB.∴A1O⊥DB． 方法2:A1O⊥DB吗?即DB⊥A1O吗?DB垂直包含A1O的平面吗?(易见DB⊥平面A1ACC1) 再观察A1O垂直何直线?DM?BM?因这两条直线与A1O均异面.故难以直接观察.平面MDB中还有何直线?易想到MO.因MO与A1O相交.它们在同一平面内.这是一个平几问题.可画出平几图进行观察． 证明 取CC1中点M.连结MO.∵DB⊥A1A.DB⊥AC.A1A∩AC=A.∴DB⊥平面A1ACC1.而A1O平面A1ACC1.∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中.∵tan∠AA1O=.tan∠MOC=.∴∠AA1O=∠MOC.则∠A1OA+∠MOC＝90°.∴A1O⊥OM.∵OM∩DB＝O.∴A1O⊥平面MBD． 【
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