如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC＝.AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin.又PA⊥平面ABCD.AP＝a.求:(1)二面角P-CD-A的大小点A到平面PBC的距离. 解析:(1)作CD′⊥AD于D′.∴ABCD′为矩形.CD′＝AB＝a.在RtΔCD′D中. ∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin. ∴sin∠CDD′＝＝ ∴CD＝a ∴D′D＝2a ∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在RtΔABC中.AC＝＝a, ∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AC.PA⊥AD.PA⊥AB. 在RtΔPAB中.可得PB＝a. 在RtΔPAC中.可得PC＝＝a. 在RtΔPAD中.PD＝＝a. ∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2 ∴cos∠PCD＜0.则∠PCD＞90° ∴作PE⊥CD于E.E在DC延长线上.连AE.由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD.∠AEP为二面角P-CD-A的平面角. 在RtΔAED中∠ADE＝arcsin.AD＝3a. ∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a. 在RtΔPAE中.tan∠PEA＝＝＝. ∴∠AEP＝arctan.即二面角P-CD-A的大小为arctan. (2)∵AD⊥PA.AD⊥AB.∴AD⊥平面PAB. ∵BC∥AD.∴BC⊥平面PAB. ∴平面PBC⊥平面PAB.作AH⊥PB于H.∴AH⊥平面PBC. AH为点A到平面PBC的距离. 在RtΔPAB中.AH＝＝＝a. 即A到平面PBC的距离为a. 说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上.而直接作AE⊥CD于E.得PE⊥CD.从而∠PEA为所求.同样可得结果.避免过多的推算.(2)中距离的计算.在学习几何体之后可用“等体积法 求. 【
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