已知四棱锥P-ABCD.它的底面是边长为a的菱形.且∠ABC＝120°.PC⊥平面ABCD.又PC＝a.E为PA的中点. (1)求证:平面EBD⊥平面ABCD, (2)求点E到平面PBC的距离, (3)求二面角A-BE-D的大小. (1)证明: 在四棱锥P-ABCD中.底面是菱形.连结AC.BD.交于F.则F为AC的中点. 又E为AD的中点.∴EF∥PC 又∵PC⊥平面ABCD.∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD. ∴平面EBD⊥平面ABCD. (2)∵EF∥PC.∴EF∥平面PBC ∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离 过F作FH⊥BC交BC于H. ∵PC⊥平面ABCD.FH平面ABCD ∴PC⊥FH. 又BC⊥FH.∴FH⊥平面PBC.则FH是F到平面PBC的距离.也是E到平面PBC的距离. ∵∠FCH＝30°.CF＝a. ∴FH＝CF＝a. (3)取BE的中点G.连接FG.AG由(1)的结论.平面BDE⊥平面ABCD.AF⊥BD. ∴AF⊥平面BDC. ∵BF＝EF＝.∴FG⊥BE.由三垂线定理得.AG⊥BE. ∴∠FGA为二面角D-BE-A的平面角. FG＝×＝a,AF＝a. ∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg 即二面角A-BE-D的大小为arctg 【
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