如图.四面体ABCD的棱BD长为2.其余各棱的长均是.求:二面角A-BD-C.A-BC-D.B-AC-D的大小. 解析:(1)取BD的中点O.连AO.OC. 在ΔABD中.∵AB＝AD＝.BD＝2. ∴ΔABD是等腰直角三角形.AO⊥BD.同理OC⊥BD. ∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角 又AO＝OC＝1.AC＝. ∴∠AOC＝90°. 即二面角A-BD-C为直二面角. (2)∵二面角A-BD-C是直二面角.AO⊥BD.∴AO⊥平面BCD. ∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC. ∵SΔOCB＝,SΔABC＝,∴cosθ＝. 即二面角A-BC-D的大小是arccos. (3)取AC的中点E.连BE.DE. ∵AB＝BC.AD＝DC. ∴BD⊥AC.DE⊥AC.∴∠BED就是二面角的平面角. 在ΔBDE中.BE＝DE＝.由余弦定理.得cosα＝- ∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos. 评析 本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角.再利用其所在的三角形算出角的三角函数值.或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得. 【
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