如图所示.在三棱锥S-ABC中.SA⊥底面ABC.AB⊥BC.DE垂直平分SC.且分别交AC.SC于D.E.又SA＝AB.SB＝SC.求以BD为棱.以BDE与BDC为面的二面角的度数. 解法一:由于SB＝BC.且E是SC中点.因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线.所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE.BE∩DE＝E. ∴SC⊥平面BDE. ∴SC⊥BD. 又∵SA⊥底面ABC.BD在底面ABC上. ∴SA⊥BD. 而SA∩SC＝S. 所以BD⊥平面SAC. ∵DE＝平面SAC∩平面BDE.DC＝平面SAC∩平面BDC. ∴BD⊥DE.BD⊥DC. ∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC. ∴SA⊥AB.SA⊥AC. 设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a. 又AB⊥BC.所以AC＝a.在RtΔSAC中 tg∠ACS＝＝.所以∠ACS＝30°. 又已知DE⊥SC.所以∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°. 解法二:由于SB＝BC.且E是SC的中点.因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线.所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE.BE∩DE＝E. ∴SC⊥平面BDE.SC⊥BD. 由于SA⊥底面ABC.且A是垂足.所以.AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC,又E∈SC.AC是SC在平面内的射影.所以E在平面ABC内的射影在AC上.由于D∈AC.所以DE在平面ABC内的射影在AC上.根据三垂线定理得BD⊥DE. ∵DE平面BDE.DC平面BDC. ∴∠EDC是所求二面角的平面角. 以下解法同解法一. 【
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