如图.已知直线a∥平面α,求证:过a有且只有一个平面平行于α. 证明 (1)存在性:设过a的平面与α交于a′.∵a∥α.∴a∥a′.在α上.设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A.A与b′确定平面δ.在δ上过A作b∥b′.则a.b是相交直线(若重合.则显然b′∥a′.矛盾).∴a,b确定平面β.则β∥α. (2)唯一性:设过a还有一个平面π∥α.∵π与δ有公共点A.∴π与δ相交于过A的直线b″.又π∥a.δ∩b′.∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A.故重合.故π与β重合. 【
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