如图.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ACB＝90°.∠BAC＝30°.BC＝1.AA1＝.M是CC1的中点.求证:AB1⊥A1M. 解析:不难看出B1C1⊥平面AA1C1C.AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1.只要能证A1M⊥AC1就可以了. 证:连AC1.在直角ΔABC中.BC＝1.∠BAC＝30°.∴ AC＝A1C1＝. 设∠AC1A1＝α.∠MA1C1＝β∴ tanα＝＝＝, tgβ＝＝＝.∵cot＝＝＝0, ∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. ∵B1C1⊥C1A1.CC1⊥B1C1.∴B1C1⊥平面AA1CC1. AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影. ∵AC1⊥A1M.∴由三垂线定理得A1M⊥AB1. 评注:本题在证AC1⊥A1M时.主要是利用三角函数.证α+β＝90°.与常见的其他题目不太相同. 【
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