在空间四边形ABCP中.PA⊥PC.PB⊥BC.AC⊥BC.PA.PB与平面ABC所成角分别为30°和45°.(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论,(2)若点P到平面ABC的距离为h.求点P到直线AB的距离. 解析:主要考查直线与直线.直线与平面的位置关系的综合应用及线面角.点面间距离等概念应用.空间想象力及推理能力. 解 (1)AB与PC不能垂直.证明如下:假设PC⊥AB.作PH⊥平面ABC于H.则HC是PC在平面ABC的射影.∴HC⊥AB.∵PA.PB在平面ABC的射影分别为HB.HA.PB⊥BC.PA⊥PC. ∴BH⊥BC.AH⊥AC ∵AC⊥BC.∴平行四边形ACBH为矩形. ∵HC⊥AB.∴ACBH为正方形. ∴HB＝HA ∵PH⊥平面ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA. ∴∠PBH＝∠PAH.且PB.PA与平面ABC所成角分别为∠PBH.∠PAH.由已知∠PBH＝45°.∠PAH＝30°.与∠PBH＝∠PAH矛盾. ∴PC不垂直于AB. (2)由已知有PH＝h,∴∠PBH＝45° ∴BH＝PH＝h.∵∠PAH＝30°.∴HA＝h. ∴矩形ACBH中.AB＝＝＝2h. 作HE⊥AB于E.∴HE＝＝＝h. ∵PH⊥平面ACBH.HE⊥AB. 由三垂线定理有PE⊥AB.∴PE是点P到AB的距离. 在RtΔPHE中.PE＝＝＝h. 即点P到AB距离为h. 评析:此题属开放型命题.处理此类问题的方法是先假设结论成立.然后“执果索因 .作推理分析.导出矛盾的就否定结论.导不出矛盾的.就说明与条件相容.可采用演绎法进行推理.此题(1)属于反证法. 【
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