题目列表(包括答案和解析)
已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.
【解析】第一问当时,,则。
依题意得:,即 解得
第二问当时,,令得,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设,则,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
(Ⅰ)当时,,则。
依题意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当时,,令得
当变化时,的变化情况如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
又,,。∴在上的最大值为2.
②当时, .当时, ,最大值为0;
当时, 在上单调递增。∴在最大值为。
综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;
当时,即时,在区间上的最大值为。
(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设,则,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若,则代入(*)式得:
即,而此方程无解,因此。此时,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,则
∴在上单调递增, ∵ ∴,∴的取值范围是。
∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。
因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上
已知.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,恒成立;
(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:.
【解析】(1)g(x)=lnx+,= (1’)
当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;
当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+) |
|
- |
0 |
+ |
|
h(x) |
e-2 |
↘ |
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e (5’)
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1 ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明().
【解析】(1)解: 的定义域为
由,得
当x变化时,,的变化情况如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
极小值 |
因此,在处取得最小值,故由题意,所以
(2)解:当时,取,有,故时不合题意.当时,令,即
令,得
①当时,,在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的,总有,即在上恒成立,故符合题意.
②当时,,对于,,故在上单调递增.因此当取时,,即不成立.
故不合题意.
综上,k的最小值为.
(3)证明:当n=1时,不等式左边==右边,所以不等式成立.
当时,
在(2)中取,得 ,
从而
所以有
综上,,
已知数列的前项和为,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明: ;
② 求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到,②由于,
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由得. ……2分
若存在由得,
从而有,与矛盾,所以.
从而由得得. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵∴
∴
∴.…………10分
证法二:,下同证法一. ……10分
证法三:(利用对偶式)设,,
则.又,也即,所以,也即,又因为,所以.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,
即
即
故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
从而.
也即
已知,(其中)
⑴求及;
⑵试比较与的大小,并说明理由.
【解析】第一问中取,则; …………1分
对等式两边求导,得
取,则得到结论
第二问中,要比较与的大小,即比较:与的大小,归纳猜想可得结论当时,;
当时,;
当时,;
猜想:当时,运用数学归纳法证明即可。
解:⑴取,则; …………1分
对等式两边求导,得,
取,则。 …………4分
⑵要比较与的大小,即比较:与的大小,
当时,;
当时,;
当时,; …………6分
猜想:当时,,下面用数学归纳法证明:
由上述过程可知,时结论成立,
假设当时结论成立,即,
当时,
而
∴
即时结论也成立,
∴当时,成立。 …………11分
综上得,当时,;
当时,;
当时,
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